Модель системы аксиом

Модель системы аксиом — какой-либо математический объект, который отвечает данной системе аксиом. Истинность системы аксиом можно доказать, только построив модель в рамках другой системы аксиом, которая считается «истинной». Кроме того, модель позволяет наглядно продемонстрировать некоторые особенности данной аксиоматической теории.

Аксиоматическая теория строится так: вводятся несколько базовых объектов (в планиметрии это точка, прямая, плоскость, «принадлежит», «находится между» и движение). Эти объекты не получают определений, зато постулируется ряд аксиом, которые и объясняют свойства этих объектов.

Аксиоматическая теория не говорит явно, существуют ли точки, прямые и плоскости. Поэтому возможны два варианта:

• Из системы аксиом будут выведены два противоположных утверждения. Такая система называется противоречивой — это значит, что точек, прямых и плоскостей не существует, а значит, не существует и планиметрии.
• Будет построена некоторая математическая конструкция (например, на основе арифметики), в рамках которой будут определены «точки», «прямые» и «плоскость». Это и будет моделью планиметрии. Построение модели подтверждает, что система аксиом состоятельна.

(в действительности для планиметрии верно второе, см. ниже.)

• «Переменные» — булевы переменные из множества {0,1}.
• Знаки ${\displaystyle \neg ,\wedge ,\vee }$ и ${\displaystyle \to }$ — соответствующие операции булевой алгебры.

Подстановкой всех возможных A, B, C в аксиомы убеждаемся, что в этой модели выполняются все аксиомы. Точно так же проверяется истинность modus ponens.

«Точка» — пара действительных чисел ${\displaystyle (x,y)}$.

«Прямая» — все точки, для которых ${\displaystyle ax+by=c}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ одновременно не равны 0.

«Плоскость» — все возможные пары действительных чисел ${\displaystyle (x,y)}$.

Наиболее интересной моделью геометрии Лобачевского является модель Пуанкаре. «Плоскость» — это внутренность круга, «точкой» считается точка, а «прямой» — прямая или дуга, перпендикулярная окружности. Углы считаются как в геометрии Евклида.

Физический смысл модели таков. Пусть скорость света в круглом «мире» изменяется от c в центре до нуля на краях по закону ${\displaystyle c(1-(r/R)^{2})^{2}}$ (а значит, показатель преломления будет 1 в центре и ${\displaystyle \infty }$ на краях). Тогда свет будет двигаться по дугам, перпендикулярным границе, но не дойдёт до границы за конечное время. Обитателям этот «мир» будет казаться бесконечным, а геометрию Лобачевского они примут на веру.

• Теория множеств

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (20 октября 2024)