Момент (математика)

Моме́нт поря́дка ${\displaystyle k}$ системы материальных точек относительно начала отсчёта (лат. momentum — движущая сила, толчок, побудительное начало, от moveo — двигаю; англ. moment) — понятие механики и теории вероятностей, сумма

${\displaystyle x_{1}^{k}m_{1}+x_{2}^{k}m_{2}+\cdots =\sum _{i}x_{i}^{k}m_{i}}$,

где ${\displaystyle m_{1},m_{2},\dots (m_{i}>0)}$ — массы материальных точек, которые расположены на одной прямой; ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ — абсциссы этих точек относительно заданного начала отсчёта на прямой^[1].

Статический момент — момент первого порядка^[1][2][3].

Момент инерции — момент второго порядка^[1].

Абсолютный момент — момент, в формуле которого вместо абсцисс подставлены их абсолютные значения^[1].

Центр, или центр тяжести, системы масс — точка прямой с абсциссой, заданной следующей формулой^[1][4][5]:

${\displaystyle {\frac {\sum _{i}x_{i}m_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}}$.

Центральный момент — момент, который вычислен относительно центра^[1].

Любая система масс обладает следующими свойствами^[1]:

• центральный статистический момент равен нулю;
• центральный момент инерции наименьший из всех моментов инерции.

Неравенство Чебышёва. Сумма масс точек, находящихся от произвольной точки ${\displaystyle O}$ на расстоянии, большем ${\displaystyle a}$, не превышает момента инерции системы точек относительно точки ${\displaystyle O}$, разделённого на ${\displaystyle a^{2}}$^[1].

Момент порядка ${\displaystyle k}$ непрерывного распределения массы относительно начала отсчёта — абсолютно сходящийся интеграл

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)\,dx}$,

где ${\displaystyle f(x)\geqslant 0}$ — плотность распределения массы^[англ.]. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силу^[1].

Еси же масса произвольно распределена, то суммы в выражениях для момента заменяются интегралами Стилтьеса. Именно таким путём и возник впервые интеграл Стилтьеса. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силу^[1].

В теории вероятностей абсциссы заменяются различными возможными значениями случайной величины, а массы — соответствующими вероятностями, причём сумма всех вероятностей (масс) равна 1^[1]:

• математическое ожидание данной случайной величины — момент первого порядка, который в теории вероятностей есть абсцисса центра (сумма вероятностей 1);
• дисперсия данной случайной величины — центральный момент второго порядка.

Неравенство Чебышёва чрезвычайно важно в теории вероятностей. В математической статистике моменты служат обычно основными статистическими сводными характеристиками распределений^[1].

Статические моменты точки ${\displaystyle M}$ относительно осей ${\displaystyle Ox}$ и ${\displaystyle Oy}$ — произведения ${\displaystyle my}$ и ${\displaystyle mx}$ соответственно, где ${\displaystyle m}$ — масса материальной точки ${\displaystyle M}$, имеющей координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ на плоскости^[2].

Рассмотрим спрямляемую кривую ${\displaystyle AB=\{r(l),\,0\leqslant l\leqslant L\}}$, где ${\displaystyle l}$ — переменная длина дуги. Кривая ${\displaystyle AB}$ имеет массу, причём масса её дуги прямо пропорциональна длине дуги, то есть масса дуги длиной ${\displaystyle \Delta l}$ равна ${\displaystyle \Delta m=\rho \Delta l}$, где ${\displaystyle \rho }$ — некоторая постоянная^[2].

Линейная плотность кривой ${\displaystyle AB}$ — коэффициент пропорциональности ${\displaystyle \rho ={\frac {\Delta m}{\Delta l}}}$, где дуга длиной ${\displaystyle \Delta l}$ имеет массу ${\displaystyle \Delta m}$, то есть плотность кривой есть массе длины её дуги, которая приходится на единицу длины этой дуги^[2].

Однородная кривая — кривая с линейной плотностью^[2].

Пусть для простоты в дальнейшем ${\displaystyle \rho =1}$, то есть дуга длиной ${\displaystyle \Delta l}$ имеет массу ${\displaystyle \Delta l}$, в частности, масса всей кривой ${\displaystyle AB}$ равна ${\displaystyle L}$^[2].

Момент кривой относительно оси — момент ${\displaystyle M_{x}}$ (${\displaystyle M_{y}}$) кривой ${\displaystyle AB}$ относительно оси ${\displaystyle Ox}$ (${\displaystyle Oy}$) равен следующей величине^[4]:

${\displaystyle M_{x}=\int _{0}^{L}y\,dl\quad }$ ${\displaystyle \left(M_{y}=\int _{0}^{L}x\,dl\right)}$.

Центр тяжести кривой — точка плоскости ${\displaystyle P(x_{0},\,y_{0})}$ такая, что если в ней находится материальная точка с массой ${\displaystyle L}$ всей кривой ${\displaystyle AB}$, то тогда статический момент этой точки относительно любой координатной оси равен статическому моменту ей кривой относительно той же оси^[4].

По определению получаем, что

${\displaystyle x_{0}L=M_{y},\quad }$ ${\displaystyle y_{0}L=M_{x},}$

то есть имеем следующие формулы^[4]:

${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}x\,dl,\quad }$ ${\displaystyle y_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}y\,dl.}$

Теорема Гульдина. Площадь поверхности вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси равна произведению длины этой кривой и длины окружности, которая описана центром тяжести этой кривой^[6].

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести кривой (непрерывно дифференцируемой без особых точек)

${\displaystyle y_{0}L=\int _{0}^{L}y\,dl}$

с формулой площади поверхности вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

${\displaystyle S=\int _{0}^{L}2\pi y\,dl}$,

имеем интересное соотношение

${\displaystyle S=2\pi y_{0}L}$,

которое и доказывает теорему^[6].

Если у кривой известно положение центра тяжести, то тогда по теорема Гульдина легко находится площадь поверхности вращения этой кривой^[6].

Найдём площадь поверхности, полученной вращением окружности

${\displaystyle S=(x-a)^{2}+y^{2}=r^{2},\,\quad }$ ${\displaystyle 0<r<a,}$

не пересекающей ось ${\displaystyle Oy}$, вокруг этой оси, то есть площадь поверхности тора. Поскольку центр окружности совпадает с её центром тяжести, имеем^[6]:

${\displaystyle S=2\pi a\cdot 2\pi r=4\pi ^{2}ar}$,

Найдём центр тяжести цепной линии, выраженной следующей формулой^[6]:

${\displaystyle y=a\operatorname {ch} {\frac {x}{a}},\quad }$ ${\displaystyle -b\leqslant x\leqslant b.}$

Цепная линия симметрична относительно оси ${\displaystyle Oy}$, поэтому момент

${\displaystyle M_{y}=0}$,

что легко доказать: выберем за начало отсчёта дуг пересечение цепной линии с осью ${\displaystyle Oy}$, и пусть ${\displaystyle 2L}$ — длина цепной линии, тогда

${\displaystyle M_{y}=\int _{-L}^{L}x(l)\,dl=0}$,

так как ${\displaystyle x(l)}$ — нечётная функция. И поскольку ${\displaystyle 2Lx_{0}=M_{y}}$, то получаем первую координату центра тяжести^[6]:

${\displaystyle x_{0}=0}$.

Рассмотрим выражение для следующего момента

${\displaystyle M_{x}=\int _{-L}^{L}y\,dl}$,

причём

${\displaystyle 2\pi M_{x}=2\pi y_{0}L=S_{x}}$,

где ${\displaystyle S_{x}}$ — площадь поверхности вращения цепной линии вокруг оси ${\displaystyle Ox}$, то есть площадь поверхности катеноида. Но сама по себе площадь поверхности катеноида ${\displaystyle S_{x}=\pi a\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right)}$, следовательно, получаем следующее уравнение^[6]:

${\displaystyle M_{x}={\frac {a}{2}}\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right)}$.

С другой стороны, назначенную длину цепной линии ${\displaystyle 2L}$ легко определить по формуле

${\displaystyle 2L=\int _{-b}^{b}dl=\int _{-b}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dx=}$

${\displaystyle =\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{a}}}}\,dx=\int _{-b}^{b}\operatorname {ch} {\frac {x}{a}}=a\operatorname {sh} {\frac {x}{a}}{\Bigr |}_{-b}^{b}=2a\operatorname {sh} {\frac {b}{a}}}$,

откуда вытекает следующая формула для второй координаты центра тяжести^[7]:

${\displaystyle y_{0}={\frac {M_{x}}{2L}}={\frac {2b+a\operatorname {sh} {\displaystyle {\frac {2b}{a}}}}{4\operatorname {sh} {\displaystyle {\frac {b}{a}}}}}}$.

Пусть дана некоторая плоская фигура ${\displaystyle AA'B'B}$ (см. рис.) — криволинейную трапецию, которая ограничена сверху кривой ${\displaystyle AB}$ с явным уравнением неотрицательной функции ${\displaystyle y=f(x)}$, и по этой фигуре равномерно распределена масса с постоянной поверхностной плотностью ${\displaystyle \rho }$. Без умаления общности положим ${\displaystyle \rho =1}$, то есть масса произвольной части фигуры равна её площади, что всегда подразумевается, когда рассматривают статические моменты (или центр тяжести) плоской фигуры^[8].

Вычислим статические моменты ${\displaystyle M_{x}}$ и ${\displaystyle M_{y}}$ криволинейной трапеции относительно осей координат. Рассмотрим произвольный элемент фигуры как бесконечно узкую вертикальную полоску (см. рис.). Аппроксимировав эту полоску прямоугольником, получаем её массу (и площадь) ${\displaystyle ydx}$. Пусть масса полоски сосредоточена в её центре тяжести, то есть в центре прямоугольника, что не меняет величины статических моментов. Координаты этого центра тяжести ${\displaystyle \left(x+{\frac {1}{2}}dx,\,{\frac {1}{2}}y\right)=\left(x,\,{\frac {1}{2}}y\right)}$, поскольку ${\displaystyle {\frac {1}{2}}dx\cdot ydx}$ есть бесконечно малая второго порядка. Поэтому получаем следующие элементарные статические моменты^[9]:

${\displaystyle dM_{x}={\frac {1}{2}}y^{2}dx,\quad }$ ${\displaystyle dM_{y}=xydx.}$

После суммирования этих элементарных моментов получаем статистические моменты

${\displaystyle M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx,\quad }$ ${\displaystyle M_{y}=\int _{a}^{b}xy\,dx,}$

где ${\displaystyle y=f(x)}$^[9].

Так же как и в случае статистических моментов кривой, теперь легко получить формулы для координат ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$ центра тяжести плоской фигуры. Пусть ${\displaystyle S}$ — площадь (и масса) фигуры, тогда по основному свойству центра тяжести

${\displaystyle Sx_{0}=M_{y}=\int _{a}^{b}xy\,dx,\quad }$ ${\displaystyle Sy_{0}=M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx,}$

откуда получаем следующие координаты центра тяжести^[10]:

${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y}={\frac {1}{S}}\int _{a}^{b}xy\,dx,\quad }$ ${\displaystyle y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}={\frac {1}{2S}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx.}$

Вторая теорема Гульдина. Объём тела вращения плоской фигуры около некоторой не пересекающей её оси равен произведению площади этой фигуры и длины окружности, которая описана центром тяжести этой фигуры^[11].

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести плоской фигуры

${\displaystyle 2y_{0}S=\int _{a}^{b}y^{2}\,dx}$

с формулой тела вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

${\displaystyle V=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,dx}$,

имеем интересное соотношение

${\displaystyle V=2\pi y_{0}S}$,

которое и доказывает теорему^[11].

Эти формулы справедливы и для такой фигуры, которая ограничена снизу и сверху кривыми соответственно

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x),\quad }$ ${\displaystyle y_{2}=f_{2}(x),}$

в этом случае имеем следующие формулы статистических моментов^[11][12]:

${\displaystyle M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}(y_{2}^{2}-y_{1}^{2})\,dx,\quad }$ ${\displaystyle M_{y}=\int _{a}^{b}x(y_{2}-y_{1})\,dx.}$

Преобразование формул для координат центра тяжести очевидны^[11][13]:

${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y}={\frac {1}{S}}\int _{a}^{b}x(y_{2}-y_{1})\,dx,\quad }$ ${\displaystyle y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}={\frac {1}{2S}}\int _{a}^{b}(y_{2}^{2}-y_{1}^{2})\,dx.}$

Поскольку площадь такой фигуры есть

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}(y_{2}-y_{1})\,dx}$,

то вторая теорема Гульдина верна и здесь^[11][13].

Найдём оба статических момента ${\displaystyle M_{x}}$ и ${\displaystyle M_{y}}$, а также обе координаты ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$ центра тяжести плоской фигуры — криволинейной трапеции, которая ограничена сверху параболой ${\displaystyle y^{2}=2px}$, снизу осью ${\displaystyle x}$ и сбоку прямой, параллельной оси ординат и соответствующей абсциссе ${\displaystyle x}$. Исходя из уравнения параболы ${\displaystyle y={\sqrt {2px}}}$ и формул

${\displaystyle Sx_{0}=M_{y}=\int _{0}^{x}xy\,dx,\quad }$ ${\displaystyle Sy_{0}=M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}y^{2}\,dx,}$

получаем следующие выражения для статистических моментов^[11]:

${\displaystyle M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}2px\,dx={\frac {1}{2}}px^{2}={\frac {1}{4}}y^{2}x,}$

${\displaystyle M_{y}=\int _{0}^{x}x{\sqrt {2px}}\,dx={\frac {2}{5}}{\sqrt {2p}}x^{\frac {5}{2}}={\frac {2}{5}}yx^{2}.}$

Вычислим площадь криволинейной трапеции^[11]:

${\displaystyle S=\int _{0}^{x}{\sqrt {2px}}\,dx={\frac {2}{3}}{\sqrt {2p}}x^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}yx.}$

Теперь по формулам

${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y},\quad }$ ${\displaystyle y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}}$

находим следующие выражения для координат центра тяжести^[14]:

${\displaystyle x_{0}={\frac {3}{5}}x,\quad }$ ${\displaystyle y_{0}={\frac {3}{8}}{\sqrt {2px}}={\frac {3}{8}}y.}$

По второй теореме Гульдина найдём объём тела вращения данной фигуры вокруг прямой, которой принадлежит правая граница фигуры^[14]:

${\displaystyle V=2\pi (x-{\frac {3}{5}}x)S={\frac {8}{15}}\pi x^{2}y.}$

Найдём координаты ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$ центра тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды

${\displaystyle x=a(t-\sin t),\quad }$ ${\displaystyle y=a(1-\cos t)}$

и осью абсцисс. Поскольку площадь и объём тела вращения данной фигуры около оси абсцисс соответственно равны

${\displaystyle S=3\pi a^{2},\quad }$ ${\displaystyle V=5\pi ^{2}a^{3},}$

из соображений симметрии и по второй теореме Гульдина соответственно получаем^[14]:

${\displaystyle x_{0}=\pi a,\quad }$ ${\displaystyle y_{0}={\frac {5}{6}}a.}$

Проблема моментов — проблема математического анализа по определению свойств произвольной функции ${\displaystyle f(x)}$ по известным свойствам последовательности её моментов^[1]:

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)\,dx}$.

Эту задачу впервые рассмотрел в 1874 году П. Л. Чебышёв в контексте исследований по теории вероятностей (при попытке доказать центральную предельную теорему). В последствии при рассмотрении этой задачи возникли новые мощные методы математического анализа^[1].

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. I. 687 с., ил.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. II. 584 с., ил.
• Момент // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1974. Т. 16. Мёзия — Моршанск. 1974. 616 с. с илл., 28 л. илл., 4 л. карт. С. 491. Многоугольник // БСЭ 3-е издание. Основной вариант Архивная копия от 7 апреля 2023 на Wayback Machine
• Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. I. Изд. 6, стереотип. М.: «Наука», 1968. 440 с. с илл.

Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.