Наибольший общий делитель

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ называется наибольший из их общих делителей^[1]. Пример: для чисел 54 и 24 наибольший общий делитель равен 6.

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел ${\displaystyle m}$ или ${\displaystyle n}$ не равно нулю.

Возможные обозначения наибольшего общего делителя чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$:

• НОД(m, n);
• ${\displaystyle (m,n)}$;
• ${\displaystyle \gcd(m,n)}$ (от англ. greatest common divisor);
• ${\displaystyle \mathrm {hcf} (m,n)}$ (от брит. highest common factor).

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ — это наименьшее натуральное число, которое делится на ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ (без остатка). Обозначается НОК(m,n) или ${\displaystyle [m,n]}$, а в английской литературе ${\displaystyle \mathrm {lcm} (m,n)}$.

НОК для ненулевых чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ всегда существует и связан с НОД следующим соотношением:

${\displaystyle (m,n)\cdot [m,n]=m\cdot n}$

Это частный случай более общей теоремы: если ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ — ненулевые числа, ${\displaystyle D}$ — какое-либо их общее кратное, то имеет место формула:

${\displaystyle D=[a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}]\cdot \left({\frac {D}{a_{1}}},{\frac {D}{a_{2}}},\dots ,{\frac {D}{a_{n}}}\right)}$

Причем, НОД от коэффициентов делителей НОК всегда равен 1. Например, НОК${\displaystyle (4,6)=12=3*4=2*6}$. ${\displaystyle 3,2}$ - коэффициенты делителей НОК. НОД${\displaystyle (3,2)=1}$. Представим, что НОД этих коэффициентов >=2. Но ведь тогда число не является НОК своих делителей! И правда, мы просто умножили две части уравнения на C.

Было:${\displaystyle 12=3*4=6*2,12=}$НОД${\displaystyle (3,2)}$

Стало: ${\displaystyle C*12=C*3*4=C*6*2,C*12=C*}$НОД${\displaystyle (3,2)}$

Вернемся к теореме. Вторая часть - нахождение этого коэффициента. То есть, если ${\displaystyle D=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}]}$, то НОД${\displaystyle \left({\frac {D}{a_{1}}},{\frac {D}{a_{2}}},{\frac {D}{a_{3}}},\dots ,{\frac {D}{a_{n}}}\right)=1}$. Но в другом случае мы узнаем, на какую C умножены обе части уравнения.

Числа ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме ${\displaystyle \pm 1}$. Для таких чисел НОД${\displaystyle (m,n)=1}$. Обратно, если НОД${\displaystyle (m,n)=1,}$ то числа взаимно просты.

Аналогично, целые числа ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots a_{k}}$, где ${\displaystyle k\geq 2}$, называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Из попарной простоты вытекает взаимная простота, но не наоборот. Например, НОД(6,10,15) = 1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм.

Кроме того, значение НОД(m,n) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ на простые множители:

${\displaystyle n=p_{1}^{d_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{d_{k}},}$

${\displaystyle m=p_{1}^{e_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{e_{k}},}$

где ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$ — различные простые числа, а ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k}}$ и ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{k}}$ — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД(n,m) и НОК[n,m] выражаются формулами:

${\displaystyle (n,m)=p_{1}^{\min(d_{1},e_{1})}\cdot \dots \cdot p_{k}^{\min(d_{k},e_{k})},}$

${\displaystyle [n,m]=p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\cdot \dots \cdot p_{k}^{\max(d_{k},e_{k})}.}$

Если чисел более двух: ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots a_{n}}$, их НОД находится по следующему алгоритму:

${\displaystyle d_{2}=(a_{1},a_{2})}$

${\displaystyle d_{3}=(d_{2},a_{3})}$

………

${\displaystyle d_{n}=(d_{n-1},a_{n})}$ — это и есть искомый НОД.

• Основное свойство: наибольший общий делитель ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
  • Следствие 1: множество общих делителей ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ совпадает с множеством делителей НОД(m, n).
  • Следствие 2: множество общих кратных ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ совпадает с множеством кратных НОК(m, n).
• Если ${\displaystyle m}$ делится на ${\displaystyle n}$, то НОД(m, n) = n. В частности, НОД(n, n) = n.
• ${\displaystyle (a,b)=(a-b,b)}$. В общем случае, если ${\displaystyle a=b*q+c}$, где ${\displaystyle a,b,c,q}$ – целые числа, то ${\displaystyle (a,b)=(b,c)}$.
• ${\displaystyle (a\cdot m,a\cdot n)=|a|\cdot (m,n)}$ — общий множитель можно выносить за знак НОД.
• Если ${\displaystyle D=(m,n)}$, то после деления на ${\displaystyle D}$ числа становятся взаимно простыми, то есть, ${\displaystyle \left({{\frac {m}{D}},{\frac {n}{D}}}\right)=1}$. Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
• Мультипликативность: если ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ взаимно просты, то:

${\displaystyle (a_{1}\cdot a_{2},b)=(a_{1},b)\cdot (a_{2},b)}$

• Наибольший общий делитель чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:

${\displaystyle \left\{a\cdot m+b\cdot n\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}$

и поэтому ${\displaystyle (m,n)}$ представим в виде линейной комбинации чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle (m,n)=u\cdot m+v\cdot n}$.

Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — коэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, порождённая набором ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}}$, — циклическая и порождается одним элементом: НОД(a₁, a₂, … , a_n).

Понятие делимости целых чисел естественно обобщается на произвольные коммутативные кольца, такие, как кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Однако, определить НОД(a, b) как наибольший из общих делителей ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ нельзя, так как в таких кольцах, вообще говоря, не определено отношение порядка. Поэтому в качестве определения НОД берётся его основное свойство:

Наибольшим общим делителем НОД(a, b) называется тот общий делитель, который делится на все остальные общие делители ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

Для натуральных чисел новое определение эквивалентно старому. Для целых чисел НОД в новом смысле уже не однозначен: противоположное ему число тоже будет НОД. Для гауссовых чисел число различных НОД возрастает до 4.

НОД двух элементов коммутативного кольца, вообще говоря, не обязан существовать. Например, для нижеследующих элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-3}}\right]}$ не существует наибольшего общего делителя:

${\displaystyle a=4=2\cdot 2=\left(1+{\sqrt {-3}}\right)\left(1-{\sqrt {-3}}\right),\qquad b=\left(1+{\sqrt {-3}}\right)\cdot 2.}$

В евклидовых кольцах наибольший общий делитель всегда существует и определён с точностью до делителей единицы, то есть количество НОД равно числу делителей единицы в кольце.

• Бинарный алгоритм вычисления НОД
• Делимость
• Алгоритм Евклида
• Наименьшее общее кратное

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.