Начальный объект

Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект ${\displaystyle I}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ такой, что для любого объекта ${\displaystyle X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle I\to X}$.

Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект ${\displaystyle T}$ — терминальный, если для любого объекта ${\displaystyle X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle X\to T}$.

Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом.

Пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет. В категории множеств с отмеченной точкой синглетоны являются нулевыми объектами, так же, как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой.

Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если ${\displaystyle I_{1}}$ и ${\displaystyle I_{2}}$ — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный.

Терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы ${\displaystyle \varnothing \to {\mathcal {C}}}$, то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы (копределы), сохраняет терминальные (начальные) объекты соответственно.

В категории групп, так же, как и в категориях абелевых групп, модулей над кольцом и векторных пространств существует нулевой объект (в связи с чем и появился термин «нулевой объект»).

В категории колец кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ является начальным объектом, и нулевое кольцо с ${\displaystyle 0=1}$ — терминальным объектом. В категории полей не существует начальных и терминальных элементов. Однако в полной подкатегории полей характеристики ${\displaystyle p}$ имеется начальный объект — поле из ${\displaystyle p}$ элементов.

В категории всех малых категорий (с функторами как морфизмами) начальный объект — пустая категория, а терминальный — категория ${\displaystyle \mathbf {1} }$ с единственным объектом и морфизмом.

Любое топологическое пространство ${\displaystyle X}$ можно рассматривать как категорию, объекты которой — открытые множества и между любыми двумя открытыми множествами, такими, что ${\displaystyle U\subset V}$, существует единственный морфизм. Пустое множество — начальный объект этой категории, ${\displaystyle X}$ — терминальный. Для такой категория топологического пространства ${\displaystyle X}$ и произвольной малой категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ все контравариантные функторы из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ с естественными преобразованиями образуют категорию, называемую категорией предпучков на ${\displaystyle X}$ с коэффициентами в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ имеет начальный объект ${\displaystyle c}$, то постоянный функтор, отображающий ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle c}$, является начальным объектом категории предпучков, двойственное утверждение также верно.

В категории схем спектр ${\displaystyle \mathbf {Spec} (Z)}$ — терминальный объект, и пустая схема — начальный объект.

Начальные и терминальные объекты также можно характеризовать при помощи универсальных стрелок и сопряжённых функторов. Для категории ${\displaystyle \mathbf {1} }$ из единственного объекта ${\displaystyle \bullet }$ и (единственного) функтора ${\displaystyle U\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {1} }$ начальный объект ${\displaystyle I}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — это универсальная стрелка из ${\displaystyle \bullet }$ в ${\displaystyle U}$. Функтор, отправляющий ${\displaystyle \bullet }$ в ${\displaystyle I}$ — левый сопряженный для ${\displaystyle U}$. Соответственно, терминальный объект ${\displaystyle T}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — универсальная стрелка из ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle \bullet }$, а функтор, отправляющий ${\displaystyle \bullet }$ в ${\displaystyle I}$ — правый сопряженный для ${\displaystyle U}$. Обратно, универсальная стрелка из ${\displaystyle X}$ в функтор ${\displaystyle U}$ может быть определена как начальный объект в категории запятой ${\displaystyle (X\downarrow U)}$. Двойственно, универсальный морфизм из ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle X}$ — терминальный объект в ${\displaystyle (U\downarrow X)}$.

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.