Нильпотентный элемент

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебр^[1].

Элемент x кольца R называется нильпотентным, если существует положительное целое число n, такое, что ${\displaystyle x^{n}=0}$^[2].

Минимальное значение ${\displaystyle n}$, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента ${\displaystyle a}$.

• Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам. Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

нильпотентна, поскольку ${\displaystyle A^{3}=0}$. Подробнее в статье Нильпотентная матрица.

• В факторкольце Z/9Z класс эквивалентности числа 3 нильпотентен, поскольку 3² сравнимо с 0 по модулю 9.
• Предположим, что два элемента a и b в кольце R удовлетворяют условию ${\displaystyle ab=0}$. Тогда элемент ${\displaystyle c=ba}$ нильпотентен, поскольку ${\displaystyle c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0}$. Пример для матриц (в качестве a и b):

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Здесь ${\displaystyle AB=0,BA=B}$.

• Кольцо сплит-кватернионов^[англ.] содержит конус нильпотентных элементов.

• По определению любой элемент нильполугруппы^[англ.] нильпотентен.

• Никакой нильпотентный элемент не может быть обратимым (за исключением тривиального кольца {0}, который имеет единственный элемент 0 = 1). Все ненулевые нильпотентные элементы являются делителями нуля.

• Матрица A размером n-на-n с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда её характеристический многочлен равен ${\displaystyle t^{n}}$.

• Если элемент x нильпотентен, то ${\displaystyle 1-x}$ является обратимым элементом, поскольку из ${\displaystyle x^{n}=0}$ следует:

  ${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.}$

• Более общо, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.

Нильпотентные элементы коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ образуют идеал ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$, что является следствием бинома Ньютона. Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент ${\displaystyle x}$ в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ этого кольца, поскольку ${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$. Таким образом, ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если элемент ${\displaystyle x}$ не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$, чтобы получить ненулевое кольцо ${\displaystyle S^{-1}R}$. Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кольца ${\displaystyle R}$ с ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$^[3]. Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотентный элемент ${\displaystyle x}$ не содержится в некотором простом идеале. Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ является в точности пересечением всех простых идеалов^[4].

Характеристика, подобная Радикалу Джекобсона и аннигиляции простых модулей, доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R. Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — Алгебра Ли. Тогда элемент ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется нильпотентным, если он в ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ и ${\displaystyle \operatorname {ad} x}$ является нильпотентным преобразованием. См. также Разложение Жордана в алгебре Ли^[англ.].

Операнд Q, удовлетворяющий условию ${\displaystyle Q^{2}=0}$ нильпотентен. Числа Грассмана^[англ.], которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике.

Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру, а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определения^[5][6]. Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, такой, что ${\displaystyle Q^{n}=0}$ (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с ${\displaystyle n=2}$). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию Морса^[7] как показал Эдвард Виттен в признанной статье^[8].

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах алгебры физического пространства^{[англ.][9]}. Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа.

Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают сплит-кватернионы^[англ.] (кокватернионы), расщеплённые октанионы^[англ.], бикватернионы ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$ и комплексные октанионы ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$.

• Идемпотентный элемент
• Унипотентный элемент
• Приведённое кольцо^[англ.]
• Ниль-идеал^[англ.]

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: Необходимо проверить качество перевода c неуказанного языка, исправить содержательные и стилистические ошибки. Вы можете помочь улучшить эту статью (см. также рекомендации по переводу). Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его. (16 апреля 2020) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (16 апреля 2020) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.