Область голоморфности

О́бласть голомо́рфности (англ. domain of holomorphy^[1]^[2], от др.-греч. ὅλος — весь и др.-греч. μορφή — форма, образ^[3]) — понятие комплексного анализа, раздела математики, область комплексного пространства такая, что существует функция, голоморфная в этой области, но не голоморфно продолжаемая в какую-нибудь бо́льшую область (точнее, не продолжаемая за пределы области)^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[2].

Другими словами, область голоморфности — область комплексного пространства такая, что нет никакого участка её границы, через который можно было бы голоморфно продолжить любую функцию, голоморфную в этой области^[9], другими словами, для любого участка границы области в ней найдётся голоморфная функция, которую нельзя продолжить через этот участок^[1]^[2].

Синоним: область регулярности^[8].

Область голоморфности функции — область комплексного пространства такая, что функция в ней голоморфна, но не голоморфна в какой-нибудь бо́льшей области, то есть голоморфно не продолжается за пределы области^[5]^[4]^[7]. Область голоморфности — область голоморфности какой-нибудь функции^[10], то есть максимальная область существования какой-нибудь функции $f(z)$ ^[1].

Синонимы: область существования функции^[5]^[7]; естественная область определения функции^[4]; область регулярности функции^[7].

На комплексной плоскости любая область голоморфна: всегда имеется некоторая функция, которая голоморфна в этой области и не продолжается аналитически за её границу^[11]^[4]^[12]^[13]^[2].

Но в комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$ , $n\geqslant 2$ , ситуация совсем другая. Например, голоморфные функции в $\mathbb {C} ^{n}$ не могут иметь изолированных особенностей: особенности «распространяются» определенным образом^[13]. В $\mathbb {C} ^{n}$ , $n\geqslant 2$ , не каждая область голоморфна, то есть имеются области, из которых любая голоморфная в ней функция всегда продолжается в более обширную область. Например, не логарифмически выпуклая область Рейнхарта^[11]. Также не голоморфна область с полостью, то есть вид разности множеств

D\setminus K\subset \mathbb {C} ^{n}

,

где $\mathbb {C} ^{n}\supset D\supset K$ — компактное множество^[4]^[14].

Неправильно считать, что область голоморфности в комплексном пространстве есть просто область того же пространства, равная своему голоморфному расширению, поскольку голоморфное продолжение функции из исходной области может привести к многолистной области^[15].

Открытое множество голоморфности — открытое множество (может быть, многосвязное) комплексного пространства, все связные компоненты которого суть области голоморфности^[12]

Определения области голоморфности

Область голоморфности (англ. domain of holomorphy^[1]^[2]) — понятие комплексного анализа, раздела математики, область $D$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ такая, что существует функция $f(z)$ , голоморфная в $D$ , но не голоморфно продолжаемая в какую-нибудь бо́льшую область $E\supseteq D$ (точнее, не продолжаемая за пределы $D$ )^[4]^[6]^[7]^[8]^[2].

Синоним: область регулярности^[8].

Область голоморфности функции $f(z)$ — область $D$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ такая, что функция $f$ в ней голоморфна, но не голоморфна в какой-нибудь бо́льшей области $E\supseteq D$ , то есть голоморфно не продолжается за пределы области $D$ ^[5]^[4]^[7]. Область голоморфности — область голоморфности $D$ какой-нибудь функции $f(z)$ ^[10], то есть максимальная область существования какой-нибудь функции $f(z)$ ^[1].

Множество все функций, голоморфных в области $D$ , обозначается $H_{D}$ ^[16], или ${\text{𝒪}}(D)$ ^[17].

Синонимы: область существования функции^[5]^[7]; естественная область определения функции^[4]; область регулярности функции^[7].

Область голоморфности — область комплексного пространства $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ такая, что нет никакого участка её границы $\partial D$ , через который можно было бы голоморфно продолжить любую функцию $f(z)$ , голоморфную в $D$ ^[9], то есть для любого участка границы $\partial D$ в $D$ существует голоморфная функция $f(z)$ , которую нельзя продолжить через этот участок^[8]^[2].

Формально это определение записывается следующим образом: область голоморфности — открытое множество $U\subset \mathbb {C} ^{n}$ , причём не существует никаких двух открытых множеств $U_{1},\,U_{2}\subset \mathbb {C} ^{n}$ таких, что $\varnothing \neq U_{1}\subset U_{2}\cup U$ , $\,U_{2}$ связно, $\,U_{2}\not \subset U$ , а для любой голоморфной функции $f$ в $U$ существует однозначно определённая голоморфная функция $f_{2}$ в $U_{2}$ такая, что $f=f_{2}$ в $U_{1}$ ^[9]^[13]^[2].

Область голоморфности — область $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ такая, что для любой граничной точки $P\in \partial D$ области $D$ существует некоторая голоморфная функция $f(z)$ в $D$ , которая голоморфно не продолжается в некоторой окрестности точки $P$ ^[1].

Открытое множество голоморфности — открытое множество (может быть, многосвязное) комплексного пространства, все связные компоненты которого суть области голоморфности^[12]

Примеры областей и функций

Единичный круг в C есть область голоморфности

Предложение 1. Единичный круг $\Delta =S(0,\,1)$ есть область голоморфности комплексной плоскости $\mathbb {C} ^{n}$ как естественная область определения следующей функции^[4]^[12]:

f_{0}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k!}

.

Доказательство^[12]

Докажем, что функция $f_{0}(z)$ не ограничена в точках $\,z=e^{i\varphi }\in \partial S(0,\,1)\,$ границы $\,\partial S(0,\,1)\,$ единичного круга, где $\,\varphi ={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$ — произвольное рациональное число, $\,p,\,q\in \mathbb {Z}$ — целые числа. Действительно,

|f_{0}(re^{i\varphi })|=\left|\sum _{k=0}^{\infty }r^{k!}e^{i{\frac {p}{q}}k!}\right|\geqslant \left|\sum _{k=q+1}^{\infty }r^{k!}e^{i{\frac {p}{q}}k!}\right|-\left|\sum _{k=0}^{q}r^{k!}e^{i{\frac {p}{q}}k!}\right|=

\qquad \qquad \,=\sum _{k=q+1}^{\infty }r^{k!}-\left|\sum _{k=0}^{q}r^{k!}e^{i{\frac {p}{q}}k!}\right|\to \infty

при

r\to 1-0

.

Следовательно, особенности функции $f_{0}(z)$ существуют во всех точках границы единичного круга $\partial S(0,\,1),\,$ поскольку множество рациональных чисел всюду плотно на вещественном отрезке $[0,\,2\pi ].$

Предложение 2. Единичный круг $\Delta =S(0,\,1)$ есть область голоморфности комплексной плоскости $\mathbb {C} ^{n}$ как естественная область определения следующей функции^[18]:

f_{0}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}z^{2^{k}}

.

Доказательство^[19]

Согласно признаку Вейерштрасса, ряд, определяющий функцию $f_{0}(z)$ , сходится абсолютно и равномерно на замыкании ${\bar {\Delta }}=\Delta \cup \partial \Delta$ области $\Delta =S(0,\,1)$ . Следовательно, функцию $f_{0}$ непрерывна на ${\bar {\Delta }}$ и голоморфна на $\Delta$ . Но следующая граничная функция

\varphi \mapsto \sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}e^{i2^{k}\varphi }

.

есть нигде не дифференцируемая функция Вейерштрасса, поэтому функцию $f_{0}$ не может быть продолжена на большее открытое множество даже дифференцируемо, а тем более голоморфно. Итак, существует одна голоморфная функция $f_{0}$ на области $\Delta$ , которая не может быть продолжена на большее открытое множество, то есть область $\Delta$ есть область голоморфности.

Единичный бикруг в C×C есть область голоморфности

Предложение 1. Единичный бикруг, то есть бикруг радиуса 1, $\Delta ^{2}(0,\,1)\subseteq \mathbb {C} ^{2}$ , есть область голоморфности комплексного пространства $\mathbb {C} ^{2}$ как естественная область определения следующей функции^[19]:

u(z_{1},\,z_{2})=f_{0}(z_{1})\times f_{0}(z_{2}),

.

где функция на единичном круге

f_{0}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}z^{2^{k}}

.

Доказательство. Согласно предложению 2 раздела Единичный круг комплексной плоскости, функции $f_{0}(z_{1})$ и $f_{0}(z_{2})$ голоморфны в единичных кругах комплексных плоскостей, поэтому функция $u(z_{1},\,z_{2})$ голоморфна по совокупности переменных в единичном бикруге по теореме Хартогса как прямое произведение голоморфных функций и голоморфно не продолжается ни в какую бо́льшую область^[19].□

Если бы эта простая конструкция из прямого произведения была единственным способом построения голоморфных областей в комплексных пространствах нескольких переменных, то было бы мало оснований для изучения этого предмета. Но в действительности характеристика областей голоморфности нескольких комплексных переменных достаточно хитроумна. Например, в доказательстве того, что единичный шар $B^{n}(0,\,1)\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ есть голоморфная область, прямое произведение не поможет^[20].

Слой бикруга в C×C не является областью голоморфности

Теорема 1. Теорема расширения Хартогса^[англ.] (феномен Хартогса^[англ.]). Каждая голоморфная функция в следующей области с полостью, то есть в выпуклом слое бикруга,

\Omega \equiv \Delta ^{2}(0,\,3)\setminus {\bar {\Delta }}^{2}(0,\,1)\subseteq \mathbb {C} ^{2}

голоморфно продолжается в область без полости $\Delta ^{2}(0,\,3)$ ^[14].

Доказательство^[14]

Приведём узкоспециализированное доказательство, используя только элементарные факты о степенных рядах с одной переменной.

Рассмотрим функцию $h$ , голоморфную в области $\Omega$ . Пусть $z_{1},\,|z_{1}|<3,\,$ фиксировано. Запишем для этой функции ряд Лорана

h_{z_{1}}(z_{2})=h(z_{1},\,z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}(z_{1})a_{2}^{k}

с коэффициентами

a_{k}(z_{1})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|w|=2}{\frac {h(z_{1},\,w)}{w^{k+1}}}dw.

Заметим, что коэффициент $a_{k}(z_{1})$ голоморфно зависит от $z_{1}$ (например, по теореме Мореры). Но $a_{k}(z_{1})=0$ при $k<0$ и $1<|z_{1}|<3$ , поэтому при голоморфном продолжении получаем $a_{k}(z_{1})\equiv 0$ при $k<0$ . Но тогда исходный ряд Лорана превращается в обычный степенной ряд

\sum _{0}^{\infty }a_{k}(z_{1})a_{2}^{k}

,

который определяет во всей области $\Delta ^{2}(0,\,3)$ некоторую голоморфную функцию ${\hat {h}}$ , которая согласована с исходной функцией $h$ в области $\Omega$ . Получается, что область $\Omega$ не является областью голоморфности, поскольку все голоморфные функции в $\Omega$ продолжаются в бо́льшую область $\Delta ^{2}(0,\,3)$ .

Сферический слой в C×R не является областью голоморфности

Здесь используется метод, который базируется на интегральной формуле Коши для комплексной плоскости. При этом необходимо, чтобы исследуемая голоморфная функция зависела как минимум от двух переменных, причём как минимум одна переменная комплексная. Комплексная переменная нужна не только для использования метода, но и сами результаты могут оказаться неверны в случае отсутствия комплексной переменной^[21].

Два следующих условия существенны при данном использовании метода: 1) наличие в каждой комплексной плоскости, параллельной координатной, контура интегрирования, вдоль которого голоморфная функция в сферическом слое голоморфна; 2) существование некоторой точки, в окрестности которой равны голоморфные функции в шаровом слое и в шаре^[22].

Пример из раздела «Сферический слой в C×С не является областью голоморфности» есть небольшая модификация данного примера^[23].

Теорема 1. Функция $f(z,\,u)$ , голоморфная в сферическом слое

S=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} \colon (R-\epsilon )^{2}<|z|^{2}+u^{2}<(R+\epsilon )^{2}\},

голоморфна в шаре

{\tilde {S}}=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} \colon |z|^{2}+u^{2}<(R+\epsilon )^{2}\},

то есть область ${\tilde {S}}$ есть голоморфное расширение области $S$ ^[21].

Доказательство^[24]

1. Сразу определим новую функцию

\varphi (z,\,u)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C(u)}{\frac {f(t,\,u)}{t-z}}dt

для каждого фиксированного значения $u$ из интервала $-R<u<R$ , где $C(u)$ есть окружность

|t|={\sqrt {R^{2}-u^{2}}}

.

2. Получаем, что, поскольку $f(t,\,u)$ непрерывна и даже голоморфна по $t$ при любых точках контура $t\in C(u)$ , то тогда и функция $\varphi (z,\,u)$ тоже голоморфна по $z$ при любых $z$ , принадлежащих открытому кругу

|z|<{\sqrt {R^{2}-u^{2}}}

.

По причине голоморфности функции $f(t,\,u)$ в сферическом слое $S$ можно без изменения значений функции $\varphi (z,\,u)$ вместо контура $C(u)$ использовать произвольный простой контур из кольца

{\sqrt {(R-\epsilon )^{2}-u^{2}}}<|t|<{\sqrt {(R+\epsilon )^{2}+u^{2}}}

,

где $u$ — по-прежнему некоторое фиксированное значение из интервала $-R<u<R$ .

3. Далее, пусть теперь $u_{0}$ , $-R<u_{0}<R$ , есть некоторое конкретное фиксированное значение $u$ . Определим новый интеграл

I(z,\,u)=\int \limits _{C(u_{0})}{\frac {f(t,\,u)}{t-z}}dt

,

в котором контур $C(u_{0})$ фиксирован, а $u_{0}-\epsilon <u<u_{0}+\epsilon$ .

Следовательно, так как функция $f(z,\,u)$ голоморфна по $z,\,u$ в сферическом слое $S$ , а точечное множество

[t\in C(u_{0});u_{0}-\epsilon <u<u_{0}+\epsilon ]

тоже принадлежит шаровому слою $S$ , построенный интеграл $I(z,\,u)$ задаёт голоморфную функцию в области

[|z|^{2}<R^{2}-u_{0}^{2};u_{0}-\epsilon <u<u_{0}+\epsilon ].

4. Приведём два факта: 1) непосредственно из определений следует, что функции $\varphi (z,\,u)$ и $I(z,\,u)$ равны при $u=u_{0}$ ; 2) поскольку величина $\varphi (z,\,u)$ не изменится, если в её интегральном выражении вместо контура $C(u)$ использовать другой допустимый, то указанное равенство имеет место для любых значений из интервала $u_{0}-\epsilon <u<u_{0}+\epsilon$ . Следовательно, функция $\varphi (z,\,u)$ голоморфна во всех точках открытого шара $|z|^{2}+u^{2}<R^{2}$ на том основании, что $u_{0}$ есть любое число из интервала $(-R,\,R).$

5. Наконец, докажем, что функции $f$ и $\varphi$ тождественны. На значениях переменной $u$ из интервала

-R-\epsilon <u<R-{\frac {\epsilon }{2}}

функция $f(t,\,u)$ аналитична не только в некоторой окрестности контура $C(u)$ , но и везде внутри него, поэтому для указанных значений $u$ имеем: $\varphi (z,\,u)\equiv f(z,\,u),$ то есть функция $\varphi (z,\,u)$ представляет собой искомое голоморфное продолжение функции $f(t,\,u)$ на область $|z|^{2}+u^{2}<R^{2}$ .

Сферический слой в C×С не является областью голоморфности

Данный пример есть небольшая модификация примера из раздела «Сферический слой в C×R не является областью голоморфности»^[23].

Теорема 1. Любая функция $f(z)$ , голоморфная в шаре с полостью, то есть в сферическом слое

S=\{z=(z_{1},\,z_{2})\in \mathbb {C} \times \mathbb {C} \colon {\frac {1}{2}}<|z|<1\},

голоморфна в большей области, шаре $|z|<1$ , точнее, допускает голоморфное продолжение в шар $|z|<1$ , то есть область $S$ не может быть областью голоморфности никакой функции^[23].

Доказательство^[25]

Построим функцию

\varphi (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|w|={\frac {3}{4}}}{\frac {f(w,\,z_{2})}{w-z_{1}}}dw

,

которая в отдельности голоморфна по $z_{1}$ м $z_{2}$ в бикруге

|z_{1}|<{\frac {3}{4}}

,

\quad |z_{2}|<{\frac {\sqrt {7}}{4}}

,

поскольку

\{(w,\,z_{2})\colon |w|={\frac {3}{4}},\,|z_{2}|<{\frac {\sqrt {7}}{4}}\}\subset S

(как показано на рисунке справа на диаграмме Рейнхарта). Следовательно, функция $\varphi (z)$ просто голоморфна в этом бикруге по фундаментальной теореме Хартогса.

Рассмотрим область

|z_{1}|\leqslant {\frac {3}{4}}

,

\quad {\frac {1}{2}}<|z_{2}|<{\frac {\sqrt {7}}{4}}

(она показана на рисунке справа). Функция $\varphi (z)$ равна функции $f(z)$ во всех точках этой области по следующим причинам: эта область принадлежит области $S$ , тогда для функции $f(z)$ справедлива формула Коши

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|w|={\frac {3}{4}}}{\frac {f(w,\,z_{2})}{w-z_{1}}}dw

,

откуда, наконец, и получаем равенство $f(z)=\varphi (z)$ в этой области.

Теперь рассмотрим пересечение множеств

\{z\colon |z_{1}|<{\frac {3}{4}},\,|z_{2}|<{\frac {\sqrt {7}}{4}}\}\cap S

,

которое есть область. По теореме единственности аналитической функции (принципу голоморфного продолжения) функция $f(z)$ голоморфна во всём шаре

\{z\colon |z|<1\}=\{z\colon |z_{1}|<{\frac {3}{4}},\,|z_{2}|<{\frac {\sqrt {7}}{4}}\}\cup S

,

что и требовалось доказать.

Достаточные условия области голоморфности

Рассмотрим простые достаточные условия, характеризующие области голоморфности^[26].

Барьер, или граничное свойство, граничной точки $z_{0}\in \partial D$ области $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ — функция $f_{z_{0}}(z)$ , которая голоморфна в области $D$ , но не продолжается голоморфно в граничную точку $z_{0}$ ^[27].

Альтернативное определение: барьер, или граничное свойство, граничной точки $z_{0}\in \partial D$ области $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ — свойство граничной точки $z_{0}$ такое, что для любого компактного множества $K\subset D$ и любого числа $\epsilon >0$ существует некоторая функция $f_{z_{0}}(z)$ , голоморфная в области $D$ , причём $\|f_{z_{0}}(z)\|_{K}=\max _{z\in K}|f_{z_{0}}(z)|\leqslant 1$ и $|g(z)|>1$ в некоторой точке $z\in U(z_{0},\,\epsilon )$ окрестности $U(z_{0},\,\epsilon )$ точки $z_{0}$ ^[26]^[28].

Теорема 1. Любая выпуклая область есть область голоморфности^[29]^[8].

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 1.9 Preview: analytic continuation, domains of holomorphy…, p. 18.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 6.
↑ Голоморфная функция, 1988.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Владимиров В. С. Голоморфности область, 1977, стб. 1030.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 8. Области голоморфности, с. 65.
↑ ¹ ² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, § 11. Области голоморфности, с. 153.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962, § 9. Голоморфные функции …, с. 154.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 119.
↑ ¹ ² ³ Хёрмандер, Ларс. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, 1968, 2.5. Области голоморфности, с. 59.
↑ ¹ ² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, § 11. Области голоморфности, с. 155.
↑ ¹ ² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, Глава III. Аналитическое продолжение, с. 143.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 8. Области голоморфности, с. 66.
↑ ¹ ² ³ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, Chapter 6 Domains of holomorphy, p. 107.
↑ ¹ ² ³ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 8.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 27. Понятие области голоморфности, с. 154.
↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 4. Определения и простейшие свойства голоморфных функций, с. 44.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 3. Понятие голоморфности, с. 22.
↑ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 6—7.
↑ ¹ ² ³ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 7.
↑ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 7—8.
↑ ¹ ² Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91.
↑ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, с. 93.
↑ ¹ ² ³ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 8. Области голоморфности, с. 67.
↑ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91—93.
↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 8. Области голоморфности, с. 67—68.
↑ ¹ ² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 27. Понятие области голоморфности, с. 155.
↑ Владимиров В. С. Голоморфности область, 1977, стб. 1031.
↑ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 117.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 27. Понятие области голоморфности, с. 157.

Источники

Бохнер С., Мартин У. Т.^[англ.] Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
Владимиров В. С. Голоморфная область // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 1030—1032.
Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика Н. Н. Боголюбова. М.: «Наука», 1964. 411 с.: ил.
Голоморфная функция // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 159.
Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных: 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 1962. 419 с.
Хёрмандер, Ларс. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных / Пер. с англ. Е. М. Чирки, под ред. Б. В. Шабата. М.: «Мир», 1968. 279 с.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
Jaap Korevaar^[англ.], Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.
Steven G. Krantz^[англ.]. Function Theory of Several Complex Variables: Second edition. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing^[англ.], 1951. 564 p. 1992 held by the American Mathematical Society. Printed with corrections, 2001.