Общее положение

О́бщее положе́ние^[1] — свойство, которое выполняется для почти для всех рассматриваемых объектов, при этом точное значение слова почти определяется из контекста^[2].

Обычно этот термин применяется в следующих словосочетаниях: «объекты общего положения, имеют свойство S», «S есть свойство общего положения», «приведём объекты в общее положение». Типичный пример использования: «Рассмотрим ${\displaystyle n}$ прямых общего положения на плоскости, то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.» Заметим, что при необходимости условие общего положения можно усилить или ослабить, добавив например, что ни одна прямая не проходит через начало координат или убрав условие на параллельные прямые^[2].

Также используется термин типичный объект, или объект общего положения, — объект, обладающий одним или несколькими «типичными свойствами» (какими именно — выясняется из контекста)^[2].

Следующий пример типичен для понятия «общее положение»^[2]. Прямая и окружность в общем положении либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. Иначе говоря, почти всегда прямая либо проходит вне окружности, либо пересекает её в двух точках, и почти никогда её не касается. В количественных соотношениях, если на плоскости есть окружность и прямая, то имеется бесконечное количество прямых, параллельных данной прямой, которые либо проходят вне окружности, либо пересекают её в двух точках, и всего две параллельные прямые, которые касаются окружности^[3].

Другой пример свойства общего положения: трансверсальность двух многообразий в объемлющем многообразии.^[3].

Общее положение в пространстве набора точек — свойство ${\displaystyle m}$ точек в ${\displaystyle n}$-мерном аффинном пространстве, может заключаться в том, что никакие ${\displaystyle k}$ из них не лежат в подпространстве размерности ${\displaystyle k-2}$, где ${\displaystyle k=2,3,\dots ,k+1}$. В частности, точки на плоскости находятся в общем положении, если никакие три не лежат на одной прямой^[4]. Требование этого определения избыточно для большинства наборов. В частности, если ${\displaystyle m\geqslant n+1}$, то достаточно предположить, что никакой набор из ${\displaystyle n+1}$ точки не лежит в гиперплоскости^[4].

Общее положение в трёхмерном пространстве двух прямых — прямые не пересекаются. Другими словами, вложение прямой в трёхмерное пространство трансверсально тогда и только тогда, когда прямые не пересекаются^[5].

Функция Морса на гладком многообразии является гладкой функцией общего положения.^[6].

Два подпространства. Рассмотрим вещественное линейное пространство и два его подпространства, сумма размерностей которых больше размерности исходного пространства^[7].

Общее положение в линейном пространстве двух подпространств — алгебраическая сумма подпространств совпадет со всем пространством^[7].

В частности, два подмногообразия дополнительной размерности в общем положении пересекаются трансверсально^[8].

В зависимости от контекста множество ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ всех рассматриваемых объектов имеет некоторую структуру, которая позволяет говорить о «малых», «пренебрежимых» или, наоборот, «больших», «массивных» подмножествах. В этом случае считается, что некоторое свойство ${\displaystyle S}$ общего положения, если обладающие им объекты образуют в ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ «большую» подсовокупность^[2].

Совокупность ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$, как правило, обладает одной из следующих структур^[2]:

(1) алгебраического многообразия;

(2) гладкого многообразия (возможного, бесконечномерного);

(3) топологического пространства, чаще всего пространства второй категории Бэра, в частности полные метрические пространства.

(4) пространства с мерой.

В перечисленных случаях «малыми» подмножествами считаются соответственно^[2]:

(1) алгебраические подмногообразия меньшей размерности;

(2) гладкие подмногообразия и их конечные или счётные объединения;

(3) нигде не плотные множества или множества первой категории Бэра;

(4) множества меры нуль.

Подмножество ${\displaystyle {\mathfrak {A\subset S}}}$ считается «большим», если дополнение к нему — «малое»^[2].

Типичное свойство, или свойство общего положения, — свойство ${\displaystyle S}$, которое выполняется почти для всех объектов из множества ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$.^[2].

В случаях (3) и (4) «большое» подмножество может означать соответственно подмножество второй категории Бэра в непустом открытом подмножестве пространства ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ или подмножество положительной меры. В этих случаях говорят, что «этим множеством объектов нельзя пренебречь», но уже не говорят о «типичности»^[2].

В геометрической топологии^[англ.], которая изучает как кусочно линейные, так и топологические многообразия и соответствующие классы отображений, термин «общее положение» используется почти исключительно как синоним термина «трансверсальность»^[3].

В алгебраической геометрии несложные случаи, аналогичные прямой и окружности на плоскости, легко анализируются с помощью теории исключения^[англ.], при этом основное поле произвольно (но обычно алгебраически замкнуто). В более сложных ситуациях имеются следующие теоремы^[3]:

• две теоремы Бертини^[англ.];
• теорема Лефшеца о гиперплоском сечении^[англ.].

Кроме того, при рассмотрении действия алгебраической группы на алгебраическом многообразии большое значение имеют точки общего положения^[3].

Понятие общего положения применяется очень широко в дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений. При доказательстве результатов обычно используются следующие теоремы об общем положении, или теоремы о трансверсальной регулярности^[3][9]:

• теорема Сарда^[10];
• теорема Тома^{[англ.][10]}.

Указанная теорема Сарда при бесконечной размерности не верна, но этот недостаток компенсируется более слабыми результатами^[3].

Несколько теорем о «типичных» свойствах есть в в теории гладких динамических систем. Как правило, эти теоремы доказываются при помощи теоремы Сарда, особенно в локальной теории бифуркаций^[англ.]. Есть немногочисленные положительные результаты, не связанные с этой редукцией^[3].

Существенная особенность теории гладких динамических систем — это существенное различие понятия общего положения в топологическом и метрическом смысле, соответственно случаи (3) и (4)^[3].

Понятие общего положения используется также в дифференциальной геометрии многообразий^[3][11][12].

Типичное свойство римановой метрики — множество римановых метрик, удовлетворяющих этому свойству, остаточно^[13].

Предложение. Следующее свойство типично^[13]:

• отображение Пуанкаре для периодической траектории геодезического потока либо гиперболическое, либо закручивающее.

• Аносов Д. В. Общее положение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 1144—1145.
• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с., ил.
• Клингенберг, В. Лекции о замкнутых геодезических / Пер. с англ. А. И. Грюнталя под ред. Д. В. Аносова. М.: Мир, 1982. 414 с., ил. [Klingenberg Wilhelm. Lectures on closed geodesics. Berlin·Heidelberg·New York: Springer-Verlag, 1978.]
• Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. М.: Наука, 1978. 352 с., ил.
• Wall C. T. C. Geometric properties of generic differentiable manifolds // Geometry and Topology. Proceedings of the School Held at the Instituto de Matematica Pura e Aplicada CNPq, Rio de Janeiro, July 1976. Conference proceedings, 1977. (Lecture Notes in Mathematics (LNM, volume 597).) P. 707–774.
• Yale P. B. Geometry and symmetry. San Francisco·Cambridge·London·Amsterdam: Holden-Day, 1968. Pp. xi, 288. (Holden-Day series in mathematics)

Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.