Однородное дифференциальное уравнение

Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений.

Обыкновенное уравнение первого порядка ${\displaystyle y'=f(x,y)}$ называется однородным относительно x и y, если функция ${\displaystyle f(x,y)}$ является однородной степени 0:

${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{0}f(x,y)=f(x,y)}$.

Однородную функцию можно представить как функцию от ${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$:

${\displaystyle \ f(x,y)=f\left(1,{\frac {y}{x}}\right)=g\left({\frac {y}{x}}\right)}$.

Используем подстановку ${\displaystyle {\frac {y}{x}}=u}$, а затем воспользуемся правилом произведения: ${\displaystyle {\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u}$. Тогда дифференциальное уравнение ${\displaystyle y'=f(x,y)}$ сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

${\displaystyle u'x+u=g(u)\Rightarrow {\frac {du}{u-g(u)}}+{\frac {dx}{x}}=0}$.

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение ${\displaystyle F(y,y',y'',\ldots )=G(x)}$ — однородно, если ${\displaystyle G(x)\equiv 0}$.

В случае, если ${\displaystyle G(x)\neq 0}$, говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.

Именно для решения линейных однородных дифференциальных уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.

• Однородная функция
• Однородное уравнение
• Уравнение, приводящее к однородному

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (20 сентября 2007) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (19 августа 2013) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.