Однородное дифференциальное уравнение

Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений.

Обыкновенное уравнение первого порядка ${\displaystyle y'=f(x,y)}$ называется однородным относительно x и y, если функция ${\displaystyle f(x,y)}$ является однородной степени 0:

${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{0}f(x,y)=f(x,y)}$.

Однородную функцию можно представить как функцию от ${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$:

${\displaystyle \ f(x,y)=f\left(1,{\frac {y}{x}}\right)=g\left({\frac {y}{x}}\right)}$.

Используем подстановку ${\displaystyle {\frac {y}{x}}=u}$, а затем воспользуемся правилом произведения: ${\displaystyle {\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u}$. Тогда дифференциальное уравнение ${\displaystyle y'=f(x,y)}$ сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

${\displaystyle u'x+u=g(u)\Rightarrow {\frac {du}{u-g(u)}}+{\frac {dx}{x}}=0}$.

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение ${\displaystyle F(y,y',y'',\ldots )=G(x)}$ — однородно, если ${\displaystyle G(x)\equiv 0}$.

В случае, если ${\displaystyle G(x)\neq 0}$, говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.

Именно для решения линейных однородных дифференциальных уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.

• Однородная функция
• Однородное уравнение
• Уравнение, приводящее к однородному

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.