Окружность Фурмана

Окру́жность Фу́рмана — окружность для данного треугольника с диаметром, равным отрезку прямой, который расположен между ортоцентром ${\displaystyle H}$ и точкой Нагеля ${\displaystyle N.}$

Названа по имени немецкого математика Вильгельма Фурмана^[нем.] (1833—1904).

Радиус окружности Фурмана ${\displaystyle R_{F}}$ выражается через радиусы описанной ${\displaystyle R}$ и вписанной ${\displaystyle r}$ окружностей треугольника по теореме Эйлера:

${\displaystyle R_{F}={\sqrt {R(R-2r)}}.}$

Выражение для ${\displaystyle R_{F}}$ через стороны треугольника ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c:}$

${\displaystyle R_{F}=R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}.}$

${\displaystyle R_{F}={\sqrt {{\frac {abc\,}{a+b+c}}\left[{\frac {abc\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}}}$

Этому радиусу также равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром^[1].

• Окружность Брокара также строится на отрезке в треугольнике как на диаметре.

• Johnson, Roger A.: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 228–229, 300 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• Honsberger, Ross: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 49-52
• Scott J. A.: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Band 86, Nr. 506 (Jul., 2002), S. 326–328 (JSTOR Архивная копия от 15 ноября 2019 на Wayback Machine)
• Fuhrmann circle Архивная копия от 25 апреля 2005 на Wayback Machine

У этой статьи по математике есть несколько проблем, помогите их исправить: Эта статья слишком короткая. Пожалуйста, дополните её ещё хотя бы несколькими предложениями и уберите это сообщение. Если статья останется недописанной, она может быть выставлена к удалению. Для указания на продолжающуюся работу над статьёй используйте шаблон {{subst:Редактирую}}. Администраторам и подводящим итоги: эта пометка оставлена 2015-12-19. Просьба очень короткие заготовки статей ранее чем через два дня после создания не удалять. (19 декабря 2015) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.