Октаэдральные соты порядка 4
Октаэдральные соты порядка 4
Перспективная проекция модели Пуанкаре
Тип
Гиперболические правильные соты Паракомпактные однородные соты [англ.]
Символы Шлефли |{3,4,4}1,1 }
Диаграммы
Ячейки
октаэдр {3,4}
Грани
треугольник {3}
Краевая фигура
квадрат {4}
Вершинная фигура
Квадратный паркет , {4,4}
Двойственные соты
Квадратные мозаичные соты [англ.]
Группы Коксетера [4,4,3]1,1 ]
Свойства
Правильные
В гиперболическом пространстве размерности 3 восьмиугольные соты порядка 4 — правильные паракомпактные соты. Они называются паракомпактными , поскольку имеют бесконечные вершинные фигуры со всеми вершинами как идеальные точки на бесконечности. Если многогранник задан символом Шлефли {3,4,4}, он имеет четыре октаэдра {3,4} вокруг каждого ребра и бесконечное число октаэдров вокруг каждой вершины в квадратном паркете {4,4}, в качестве расположения вершин [англ.] [ 1]
Геометрические соты — это заполняющие пространство многогранники или ячейки большей размерности. Заполнение происходит так, что между ними не остаётся зазоров. Это пример более общего математического понятия мозаики или замощения
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве подобно выпуклым однородным сотам [англ.] неевклидовых пространствах , такие как однородные гиперболические соты [англ.] однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу для образования однородных сот в сферическом пространстве.
Построение с половинной симметрией, [3,4,4,1+ ], существует как {3,41,1 }, с чередованием двух видов (цветов) октаэдральных ячеек. симметрией , [3,4,1+ ,4]: * ], индекс 8, существует с пирамидальной фундаментальной областью, [((3,∞,3)),((3,∞,3))]:
Эти соты содержат гиперциклические поверхности наподобие паракомпактных мозаик
Многогранник входит в 15 правильных гиперболических сот в 3-мерном пространстве, 11 из которых, подобно этим сотам, паракомпактны и имеют бесконечные ячейки или вершинные фигуры.
11 паракомпактных правильных сот
{6,3,3}
{6,3,4}
{6,3,5}
{6,3,6}
{4,4,3}
{4,4,4}
{3,3,6}
{4,3,6}
{5,3,6}
{3,6,3}
{3,4,4}
Имеется пятнадцать однородных сот [англ.] групп Коксетера , включая эту однородную форму.
Семейство сот [4,4,3]
{4,4,3} r{4,4,3} t{4,4,3} rr{4,4,3} t0,3 {4,4,3} tr{4,4,3} t0,1,3 {4,4,3} t0,1,2,3 {4,4,3}
{3,4,4} r{3,4,4} t{3,4,4} rr{3,4,4} 2t{3,4,4} tr{3,4,4} t0,1,3 {3,4,4} t0,1,2,3 {3,4,4}
Соты являются частью последовательности сот с вершинной фигурой в виде квадратного паркета :
Соты {p,4,4}
Пространство
E3
H3
Форма
Аффинные
Паракомпактные
Некмпактные
Название
{2,4,4}
{3,4,4}
{4,4,4}
{5,4,4}
{6,4,4}
..{∞,4,4}
Coxeter
Image
Cells
{2,4} {3,4} {4,4} {5,4} {6,4} {∞,4}
Соты являются частью последовательности правильных четырёхмерных многогранников и сот с октаэдральными ячейками [англ.]
Многогранники {3,4,p}
Пространство
S3
H3
Форма
Конечные
Паракомпактные
Некомпактные
Название
{3,4,3} {3,4,4} {3,4,5} {3,4,6} {3,4,7} {3,4,8} ... {3,4,∞}
Рисунок
Vertex
{4,3} {4,4} {4,5} {4,6} {4,7} {4,8} {4,∞}
Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4 , t1 {3,4,4}, кубооктаэдра и квадратного паркета , с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры .
Усечённые восьмиугольные соты порядка 4 , t0,1 {3,4,4}, усечённого октаэдра и квадратного паркета с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры .
Скошенные восьмиугольные соты порядка 4
Тип
Паракомпактные однородные соты [англ.]
Символы Шлефли rr{3,4,4} или t0,2 {3,4,4}2 {3,4,4}
Диаграммы
Ячейки
rr{3,4} r{4,4}
Грани
треугольник {3}квадрат {4}
Вершинная фигура
треугольная призма
Группы Коксетера [4,4,3]
Свойства
вершинно транзитивны
Скошенные восьмиугольные соты порядка 4 , t0,2 {3,4,4}, ромбокубооктаэдра и квадратного паркета с вершинной фигурой в виде треугольной призмы .
Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4
Тип
Паракомпактные однородные соты [англ.]
Символы Шлефли tr{3,4,4} или t0,1,2 {3,4,4}
Диаграммы
Ячейки
tr{3,4} r{4,4}
Грани
квадратные {4}шестиугольные {6}восьмиугольные {8}
Вершинная фигура
тетраэдр
Группы Коксетера [4,4,3]
Свойства
вершинно транзитивны
Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4 , t0,1,2 {3,4,4}, усечённого кубооктаэдра и квадратного паркета с тетраэдром в качестве вершинной фигуры .
Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4 , t0,1,3 {3,4,4}, усечённого октаэдра и квадратного паркета с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры .
Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4 , s{3,4,4}, имеют диаграмму Коксетера — Дынкина равнобедренными сотами [англ.] квадратными пирамидами , квадратными мозаиками и икосаэдрами .
Coxeter .Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs // Regular Polytopes [англ.] 294 –296. — ISBN 0-486-61480-8 .Coxeter .Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V // The Beauty of Geometry: Twelve Essays . — Dover Publications, 1999. — С. 212-213. — ISBN 0-486-40919-8 .Jeffrey R. Weeks. Chapter 16-17: Geometries on Three-manifolds I,II // The Shape of Space . — 2nd. — 2002. — ISBN 0-8247-0709-5 .N.W. Johnson .N.W. Johnson .N.W. Johnson .Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2015.Norman W. Johnson, Asia Ivic Weiss. Quadratic Integers and Coxeter Groups // Can. J. Math.. — 1999. — Т. 51 , вып. 6 . — С. 1307–1336 .
