Производная Пинкерле

В математике, производная Пинкерле T’ линейного оператора T:K[x] → K[x] на векторном пространстве многочленов от переменной x над полем K это коммутатор оператора T с умножением на x в алгебре эндоморфизмов End(K[x]). T.e. T’ является ещё одним линейным оператором T’:K[x] → K[x]

${\displaystyle T':=[T,x]=Tx-xT=-\operatorname {ad} (x)T.}$

Более подробно, на многочлене ${\displaystyle p(x)}$ этот оператор действует следующим образом:

${\displaystyle T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad \forall p(x)\in \mathbb {K} [x].}$

Названа в честь итальянского математика Сальваторе Пинкерле.

Производная Пинкерле, как и любой коммутатор, является дифференцированием, удовлетворяющим правилу произведения и суммы: для любых линейных оператора ${\displaystyle \scriptstyle S}$ и ${\displaystyle \scriptstyle T}$, принадлежащих ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {End} \left(\mathbb {K} [x]\right)}$, выполняется

1. ${\displaystyle \scriptstyle {(T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime }}}$ ;
2. ${\displaystyle \scriptstyle {(TS)^{\prime }=T^{\prime }\!S+TS^{\prime }}}$ где ${\displaystyle \scriptstyle {TS=T\circ S}}$ является композицией операторов ;

Также ${\displaystyle \scriptstyle {[T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]},}$ где ${\displaystyle \scriptstyle {[T,S]=TS-ST}}$ — обычная скобка Ли, что следует из тождества Якоби.

Обычная производная, D = d/dx, является оператором на многочленах. Прямое вычисление показывает, что её производная Пинкерле равна

${\displaystyle D'=\left({d \over {dx}}\right)'=\operatorname {Id} _{\mathbb {K} [x]}=1.}$

По индукции, эта формула обобщается до

${\displaystyle (D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1}.}$

Это доказывает, что производная Пинкерле дифференциального оператора

${\displaystyle \partial =\sum a_{n}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}=\sum a_{n}D^{n}}$

также является дифференциальным оператором, так что производная Пинкерле есть дифференцирование ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Diff} (\mathbb {K} [x])}$.

Оператор сдвига

${\displaystyle S_{h}(f)(x)=f(x+h)}$

может быть записан

${\displaystyle S_{h}=\sum _{n=0}{{h^{n}} \over {n!}}D^{n}}$

с помощью формулы Тейлора. Тогда его производная Пинкерле равняется

${\displaystyle S_{h}'=\sum _{n=1}{{h^{n}} \over {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h}.}$

Другими словами, операторы сдвига есть собственные векторы производной Пинкерле, чей спектр есть все пространство скаляров ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbb {K} }}$.

Если T инвариантен к сдвигу, то есть если T коммутирует с S_h или ${\displaystyle \scriptstyle {[T,S_{h}]=0}}$, мы также имеем: ${\displaystyle \scriptstyle {[T',S_{h}]=0}}$, так что ${\displaystyle \scriptstyle T'}$ также является инвариантным к тому же сдвигу ${\displaystyle \scriptstyle h}$.

Дельта-оператор^[англ.] дискретного времени

${\displaystyle (\delta f)(x)={{f(x+h)-f(x)} \over h}}$

это оператор

${\displaystyle \delta ={1 \over h}(S_{h}-1),}$

чья производная Пинкерле — оператор сдвига ${\displaystyle \scriptstyle {\delta '=S_{h}}}$.

• Коммутатор операторов

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (30 июля 2013)

• Weisstein, Eric W. Pincherle Derivative. MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Biography of Salvatore Pincherle на MacTutor History of Mathematics archive.