Численное дифференцирование

Численное дифференцирование — совокупность методов приближённого вычисления значения производной некоторой функции, заданной таблично или имеющей сложное аналитическое выражение.

Производная функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ определяется с помощью предела:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

В числителе дроби под знаком предела стоит конечная разность функции ${\displaystyle f}$, в знаменателе — шаг этой разности. Поэтому простейшим методом аппроксимации производной является использование конечных разностей функции ${\displaystyle f}$ с некоторым достаточно малым шагом ${\displaystyle h}$. Например, выражение

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

приближает производную функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ с точностью до величины, пропорциональной ${\displaystyle h}$. Использование выражения

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}}$

позволяет сократить ошибку приближения до величины, пропорциональной ${\displaystyle h^{2}}$.

Конечными разностями можно также приближать производные высших порядков.

Если известны значения функции ${\displaystyle f}$ в некоторых узлах ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N}}$, то можно построить интерполяционный полином ${\displaystyle P_{N}(x)}$ (например, в форме Лагранжа или в форме Ньютона) и приближенно положить

${\displaystyle f^{(r)}(x)\approx P_{N}^{(r)}(x),\;0\leq r\leq N.}$

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования.

Иногда наряду с приближенным равенством удаётся (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член ${\displaystyle R(x)}$, называемый погрешностью численного дифференцирования:

${\displaystyle f^{(r)}(x)=P_{N}^{(r)}(x)+R(x),\;0\leq r\leq N.}$

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой величина ${\displaystyle h={\mbox{max}}\{x_{i}-x_{i-1}\,|\,i=1,\ldots ,N\}}$ входит в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования.

Далее приводятся несколько формул численного дифференцирования с остаточными членами для первой ${\displaystyle ({r=1})}$ и второй ${\displaystyle ({r=2})}$ производных для равноотстоящих узлов с постоянным шагом ${\displaystyle {h>0}}$, полученных с использованием формулы Лагранжа:

• ${\displaystyle r=1,\;N=1}$ (два узла):

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}-{\frac {h}{2}}f''(\xi ),}$

${\displaystyle f'(x_{1})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}+{\frac {h}{2}}f''(\xi ).}$

• ${\displaystyle r=1,\;N=2}$ (три узла):

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {-3f_{0}+4f_{1}-f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}}f'''(\xi ),}$

${\displaystyle f'(x_{1})={\frac {f_{2}-f_{0}}{2h}}-{\frac {h^{2}}{6}}f'''(\xi ),}$

${\displaystyle f'(x_{2})={\frac {f_{0}-4f_{1}+3f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}}f'''(\xi ).}$

• ${\displaystyle r=2,\;N=2}$ (три узла):

${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-hf'''(\xi ),}$

${\displaystyle f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),}$

${\displaystyle f''(x_{2})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}+hf'''(\xi ).}$

• ${\displaystyle r=2,\;N=3}$ (четыре узла):

${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {2f_{0}-5f_{1}+4f_{2}-f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),}$

${\displaystyle f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),}$

${\displaystyle f''(x_{2})={\frac {f_{1}-2f_{2}+f_{3}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),}$

${\displaystyle f''(x_{3})={\frac {-f_{0}+4f_{1}-5f_{2}+2f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ).}$

Здесь ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$, ${\displaystyle i=0,\ldots ,N}$, а ${\displaystyle \xi }$ — некоторая промежуточная точка между наибольшим и наименьшим из узлов.

В общем случае коэффициенты формул численного дифференцирования можно вычислить для произвольной сетки узлов и любого порядка производной.

В формулах численного дифференцирования с постоянным шагом ${\displaystyle h}$ значения функции ${\displaystyle f}$ делятся на ${\displaystyle h^{r}}$, где ${\displaystyle r}$ — порядок вычисляемой производной. Поэтому при малом ${\displaystyle h}$ неустранимые погрешности в значениях функции ${\displaystyle f}$ оказывают сильное влияние на результат численного дифференцирования. Таким образом, возникает задача выбора оптимального шага ${\displaystyle h}$, так как погрешность собственно метода стремится к нулю при ${\displaystyle h\to {0}}$, а неустранимая погрешность растет. В результате общая погрешность, которая возникает при численном дифференцировании, может неограниченно возрастать при ${\displaystyle h\to {0}}$. Поэтому задача численного дифференцирования считается некорректно поставленной.

Классические приближения конечными разностями содержат неустранимую погрешность и являются плохо обусловленными. Однако, если функция ${\displaystyle f}$ является голоморфной, принимает вещественные значения на вещественной прямой и может быть оценена в любой окрестности любой вещественной точки комплексной плоскости, то её производная может быть вычислена устойчивыми методами. Например, первую производную можно сосчитать по формуле с комплексным шагом^[1]:

${\displaystyle f'(x)={\frac {{\mbox{Im}}(f(x+ih))}{h}}+O\left(h^{2}\right),}$

где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица. Эту формулу можно получить из следующего разложения в ряд Тейлора:

${\displaystyle f(x+ih)=f(x)+ihf'(x)-h^{2}{\frac {f''(x)}{2!}}-ih^{3}{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots .}$

В общем случае производные произвольного порядка можно вычислить с помощью интегральной формулы Коши:

${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,\mathrm {d} z.}$

Интеграл можно вычислять приближённо.

• Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 636 с., илл. — ISBN 5-94774-175-X.
• Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное – М.: Физматгиз. 1962.
• Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. – М.: Наука. 1982. – 342 с.

• Разделенная разность
• Численное интегрирование

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.