Окончил ВГИК в 1961 году, актёрский факультет, курс Ольги Ивановны Пыжовой. Учился вместе с Тамарой Сёминой и Натальей Кустинской.
После окончания института был зачислен в штат киностудии имени Горького.
В кино дебютировал еще будучи студентом в 1961 году, сыграл главную роль — Сергея Новоскольцева — в фильме «Горизонт» режиссёра Иосифа Хейфеца. По сюжету двенадцать выпускников приезжают на целину, где, избавляясь от детских иллюзий, начинают входить во взрослую жизнь. Его партнерами по съемкам стали такие мастера как Юрий Толубеев и Борис Чирков.
Сафонов — мастер дубляжа и озвучивания. Последние годы известен и как режиссёр закадрового озвучивания. Продолжает сниматься в кино.
Родители актёра были инженерами на ЗОМЗе — отец был заместителем начальника отдела труда, мать — начальник бюро труда и зарплаты. Дядя — Пётр Григорьевич Сафонов, актер, служил в Московском областном театре. Семья жила на Большой Кукуевской улице (ныне 1-й Ударной Армии). Во время войны семья была в эвакуации в Томске, где родители трудились на оборонном заводе. Большое влияние на выбор дальнейшей профессии Алексея оказал брат отца Пётр Григорьевич, который часто бывал в Загорске со спектаклями Московского областного театра. Алексей часто бывал за кулисами и еще в детстве очень заинтересовался актёрским делом. В старших классах посещал драматический кружок. После окончания школы отправился в Москву и с первого раза поступил в театральный. Во время учебы ему пришлось работать над дикцией, поскольку он немного картавил.