Симплектическое пространство

Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой ${\displaystyle \omega }$, то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:

${\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-\omega (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$

${\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\,\lambda \,\mathbf {b} +\mu \,\mathbf {c} )=\lambda \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$

${\displaystyle \forall \mathbf {a} \in \mathbb {S} ,\,\mathbf {a} \neq 0~~\exists \mathbf {b} \in \mathbb {S} \,:\,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0}$

Симплектическая форма обычно обозначается ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$. В отличие от формы скалярного произведения, для которой

${\displaystyle \forall \mathbf {a} \neq 0\,:\,(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )>0}$,

для симплектической формы всегда ${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \right\rangle =0}$

• Линейное преобразование L симплектического пространства называется симплектическим, если оно сохраняет симплектическую форму:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\left\langle L(\mathbf {a} ),L(\mathbf {b} )\right\rangle }$

• Множество всех симплектических преобразований пространства S образует группу, называемую симплектической группой и обозначаемую Sp(S).
• Матрица симплектического преобразования называется симплектической матрицей.
• Подпространство s симплектического пространства S называется симплектическим, если ограничение симплектической формы на s невырождено.
• Два вектора ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in S}$ называются косоортогональными, если

${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =0}$

Отметим, что любой вектор косоортогонален самому себе.

• Косоортогональным дополнением подпространства ${\displaystyle s\subset S}$ называется множество всех векторов, косоортогональных любому вектору из ${\displaystyle s}$.

Симплектическую структуру можно ввести на любом чётномерном векторном пространстве. Можно показать, что на нечётномерном пространстве не существуют невырожденные кососимметрические 2-формы. Все симплектические пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны. Эти факты следуют из теоремы Дарбу для симплектических пространств. Идея доказательства заключается в следующем. Рассмотрим некоторый вектор ${\displaystyle \mathbf {q_{1}} \in \mathbb {S} ,~~\dim \,\mathbb {S} =2n}$. В силу невырожденности ${\displaystyle \omega }$ существует такой вектор ${\displaystyle \mathbf {p_{1}} \in \mathbb {S} }$, что

${\displaystyle \left\langle \mathbf {p_{1}} ,\mathbf {q_{1}} \right\rangle =1}$

Рассмотрим косоортогональное дополнение к линейной оболочке V векторов ${\displaystyle \mathbf {p_{1}} }$ и ${\displaystyle \mathbf {q_{1}} }$. Можно показать, что это будет (2n-2)-мерное подпространство S, не пересекающееся c V, причём ограничение ${\displaystyle \omega }$ на нём невырождено. Следовательно, процесс можно продолжить по индукции. Для нечётномерного пространства процесс завершится на одномерном подпространстве, на котором ${\displaystyle \omega }$ заведомо вырождена, так что предположение о существовании симплектической структуры было неверным. Для чётномерного пространства мы получим базис

${\displaystyle (\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )}$,

такой что

${\displaystyle \left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\delta _{ij},~~\left\langle \mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} \right\rangle =0}$

где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера. Он называется каноническим базисом или базисом Дарбу.

В каноническом базисе матрица симплектической формы примет вид

${\displaystyle \Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$

где ${\displaystyle I_{n}}$ — единичная матрица порядка n. ${\displaystyle \Omega _{n}}$ является симплектической матрицей.

Рассмотрим подпространство ${\displaystyle W\subset \mathbb {S} }$ и его косоортогональное дополнение ${\displaystyle W^{\perp }}$. В силу невырожденности ${\displaystyle \omega }$:

${\displaystyle \dim \,W+\dim \,W^{\perp }=\dim \,\mathbb {S} }$

Кроме того,

${\displaystyle (W^{\perp })^{\perp }=W}$

В общем случае эти подпространства пересекаются. В зависимости от их взаимного положения выделяют 4 типа подпространств:

• Симплектические: ${\displaystyle W\cap W^{\perp }=0}$. Это верно тогда и только тогда, когда ограничение ${\displaystyle \omega }$ на W невырождено, так что такое определение симплектических подпространств совпадает с данным ранее. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,2k=\dim \,W}$

• Изотропные: ${\displaystyle W\subset W^{\perp }}$. Подпространство изотропно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \omega }$ тождественно равна нулю на нём. Любое одномерное подпространство изотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~0,\dots ,0),\,k=\dim \,W}$.

• Коизотропные: ${\displaystyle W^{\perp }\subset W}$. W коизотропно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \omega }$ невырождена на факторпространстве ${\displaystyle W\,/\,W^{\perp }}$. Любое подпространство коразмерности 1 коизотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{n};~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,n+k=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S} }$

• Лагранжевы: ${\displaystyle W^{\perp }=W}$. W лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. Любое изотропное подпространство вкладывается в лагранжево, а любое коизотропное подпространство содержит лагранжево. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{n};~0,\dots ,0),\,n=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S} }$

Множество всех лагранжевых подпространств пространства размерности 2n образует многообразие, называемое лагранжевым грассманианом ${\displaystyle \Lambda _{n}}$. Оно диффеоморфно многообразию смежных классов унитарной группы ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ по ортогональной подгруппе ${\displaystyle \mathbb {O} _{n}}$, при этом

${\displaystyle \dim \,\Lambda _{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$

• В комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ можно задать билинейную кососимметричную форму по формуле

${\displaystyle \left\langle u,w\right\rangle =\operatorname {Im} \left[u,w\right]}$

где ${\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]}$ — эрмитова форма. Эта форма задаёт симплектическую структуру на овеществлении ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

• Для любого пространства V существует каноническая симплектическая структура на пространстве ${\displaystyle V\oplus V^{*}}$, где ${\displaystyle V^{*}}$ — сопряжённое к V пространство. Кососкалярное произведение определяется для базисных векторов в V и сопряжённых к ним по формуле

${\displaystyle \left\langle w,u\right\rangle =1,~~u^{*}=w,~~u\in V}$

${\displaystyle \left\langle w,u\right\rangle =0,~~u^{*}\neq w,~~\forall u,w\in V\oplus V^{*}}$

и продолжается на все остальные векторы по линейности.

• Индекс Маслова
• Симплектическая группа
• Симплектическое многообразие
• Контактная структура
• Гамильтонова механика
• Фазовое пространство
• Уравнения Гамильтона

• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. — 2-е изд.. — Ижевск: РХД, 2000. — 168 с. — ISBN 5-7029-0331-5. (недоступная ссылка)
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Издательство МГУ, 1988. — 414 с. (недоступная ссылка)