Суперинтегрируемая гамильтонова система

В математике суперинтегрируемая гамильтонова система — это гамильтонова система на ${\displaystyle 2n}$-мерном симплектическом многообразии ${\displaystyle Z}$, для которой выполняются следующие условия:

(i) Существуют ${\displaystyle k>n}$ независимых интегралов движения ${\displaystyle F_{i}}$. Их поверхности уровня (инвариантные подмногообразия) образуют расслоенное многообразие ${\displaystyle F:Z\to N=F(Z)}$ над связным открытым подмножеством ${\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{k}}$.

(ii) Существуют гладкие вещественные функции ${\displaystyle s_{ij}}$ на ${\displaystyle N}$, такие что скобки Пуассона интегралов движения имеют вид ${\displaystyle \{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F}$.

(iii) Матрица ${\displaystyle s_{ij}}$ имеет постоянный коранг ${\displaystyle m=2n-k}$ на ${\displaystyle N}$.

Если ${\displaystyle k=n}$, то это — случай вполне интегрируемой гамильтоновой системы. Теорема Мищенко — Фоменко для суперинтегрируемых гамильтоновых систем следующим образом обобщает теоремы Лиувилля — Арнольда о переменных действие — угол.

Пусть инвариантные подмногообразия суперинтегрируемой гамильтоновой системы связны компактны и взаимно диффеоморфны. Тогда расслоенное многообразие ${\displaystyle F}$ является расслоением на торы ${\displaystyle T^{m}}$. Для данного её слоя ${\displaystyle M}$ существует его открытая окрестность ${\displaystyle U}$, которая является тривиальным расслоением, наделены послойными обобщёнными координатами действие — угол ${\displaystyle (I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})}$, ${\displaystyle A=1,\ldots ,m}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-m}$, такими что ${\displaystyle (\phi ^{A})}$ — координаты на ${\displaystyle T^{m}}$. Эти координаты являются каноническими координатами на симплектическом многообразии ${\displaystyle U}$. При этом гамильтониан суперинтегрируемой системы зависит только от переменных действие ${\displaystyle I_{A}}$, которые являются функциями Казимира коиндуцированной пуассоновой структуры на ${\displaystyle F(U)}$.

Теорема Лиувилля — Арнольда для вполне интегрируемых систем и теорема Мищенко — Фоменко для суперинтегрируемых систем были обобщены на случай некомпактных инвариантных подмногообразий. Они диффеоморфны тороидальным цилиндрам ${\displaystyle T^{m-r}\times \mathbb {R} ^{r}}$.

• Mishchenko, A., Fomenko, A., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113.
• Bolsinov, A., Jovanovic, B., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; arXiv:math-ph/0109031.
• Fasso, F., Superintegrable Hamiltonian systems: geometry and applications, Acta Appl. Math. 87(2005) 93.
• Fiorani, E., Sardanashvily, G., Global action-angle coordinates for completely integrable systems with non-compact invariant manifolds, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arXiv:math/0610790.
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Methods in Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, Singapore, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8; arXiv: 1303.5363 (недоступная ссылка).

• Гамильтонова система
• Переменные действие — угол
• Интегралы движения