Сферическая оболочка

Сфери́ческий слой^[1] — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия кольца; область, заключённая между двумя концентрическими сферами (в двумерном пространстве — окружностями, получаем кольцо) различных радиусов^[2][3][4].

Устаревшие синонимы: сферическая оболочка^[5]; шаровой слой^[6]; шаровое кольцо^[7].

Тонкий сферический слой может называться тонкостенной сферой^[8].

Сферический слой представляет собой частный случай выпуклого слоя^[4].

Сферический слой — точечное множество ${\displaystyle S}$ евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}(w)}$ размерности ${\displaystyle n}$, которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров (в двумерном пространстве — кругов, получаем кольцо) с центром в точке ${\displaystyle a}$, где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шар^[4]:

${\displaystyle S=B(a,\,R)\setminus {\bar {B}}(a,\,r),\quad }$ ${\displaystyle 0<r<R}$,

или сразу как следующее обобщённое кольцо (в двумерном пространстве просто кольцо) с центром в начале координат^[9][10]:

${\displaystyle S=\{z\in \mathbb {E} ^{n}\colon \,r<|w|<R,\,0<r<R\}}$.

Пространство может быть комплексным, вещественным или их комбинацией.

В случае простейшего комплексно-вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}(w)=\mathbb {C} \times \mathbb {R} (z,\,u)}$ сферический слой ${\displaystyle S}$ с центром в начале координат можно определить следующей формулой^[9]:

${\displaystyle S=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} \colon \,r^{2}<|z|^{2}+u^{2}<R^{2}\}.}$

В случае трёхмерного вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}(x,\,y,\,z)}$ сферический слой ${\displaystyle S}$ с центром в начале координат можно определить формулой

${\displaystyle S=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,r^{2}<x^{2}+y^{2}+z^{2}<R^{2}\},}$

причём граница этого сферического слоя состоит из двух следующих сфер^[7]:

${\displaystyle S_{r}=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\},}$

${\displaystyle S_{R}=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\}.}$

Объём сферического слоя представляет собой разность объёмов областей евклидова пространства, заключённых внутри внешней и внутри внутренней сферы. В случае трёхмерного пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ объём сферического слоя

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}-{\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi (R^{3}-r^{3})}$,

где ${\displaystyle R}$ — радиус внешней сферы, ${\displaystyle r}$ — радиус внутренней сферы^[8].

Случай тонкостенной сферы («Арбузная корка»). Имеется трёхмерная тонкостенная сфера с внутренним радиусом ${\displaystyle r}$, внешним радиусом ${\displaystyle R}$ и толщиной слоя ${\displaystyle \Delta r=R-r}$. Если ${\displaystyle \Delta r}$ очень мало, то есть ${\displaystyle \Delta r\ll r}$, то объём такой тонкостенной сферы приближённо равен ${\displaystyle 4\pi r^{2}\Delta r}$ или ${\displaystyle 4\pi R^{2}\Delta r}$. Другими словами, объём тонкостенной сферы приближённо равен произведению площади её внутренней или внешней сферы на толщину слоя^[3][8].

Доказательство. Пусть ${\displaystyle R=r+\Delta r}$ (случай ${\displaystyle r=R-\Delta r}$ аналогичен) и выпишем с этой заменой величину объёма тонкостенной сферы, получим^[8]:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi ((r+\Delta r)^{3}-r^{3})={\frac {4}{3}}\pi (r^{3}+3r^{2}\Delta r+3r(\Delta r)^{2}+(\Delta r)^{3}-r^{3})=}$

${\displaystyle ={\frac {4}{3}}\pi (3r^{2}\Delta r+3r(\Delta r)^{2}+(\Delta r)^{3})\approx 4\pi r^{2}\Delta r}$.

Пример 1. Толщина стенки ${\displaystyle h}$ резинового детского мяча радиуса ${\displaystyle R=25}$ см, плавающего на поверхности воды, причём под водой находится ${\displaystyle 5}$ % его объёма, плотность резины ${\displaystyle \rho =1{,}1}$ г/см${\displaystyle ^{3}}$, а плотность воды ${\displaystyle \rho _{0}=1}$ г/см${\displaystyle ^{3}}$, равна ${\displaystyle {\frac {\rho _{0}R}{60\rho }}\approx 4}$ мм^[3].

Пример 2 (МФТИ, 1991). Масса ${\displaystyle \,m_{\text{Г}}}$ гелия в лопнувшем при давлении ${\displaystyle p=1{,}1}$ атм резиновом шарике массой ${\displaystyle m=2}$ г, который надувался при температуре ${\displaystyle t=17}$ °C, причём резиновая плёнка рвётся при толщине ${\displaystyle \Delta =2\cdot 10^{-3}}$ см, плотность резины ${\displaystyle \rho =1{,}1}$ г/см${\displaystyle ^{3}}$, молярная масса гелия ${\displaystyle \mu =4}$ г/моль, универсальная газовая постоянная ${\displaystyle R=8{,}31}$ Дж/(моль·K), равна ${\displaystyle {\frac {1}{6{\sqrt {\pi }}}}{\frac {\mu p}{RT}}\left({\sqrt {\frac {m}{\rho \Delta }}}\right)^{3}\approx 0{,}47}$ г^[3].

Пример 3 (МФТИ, 1997). Толщина ${\displaystyle h}$ слоя озона (O₃), если бы он собрался у поверхности Венеры, имея температуру и давление, равные температуре и давлению атмосферы у поверхности Венеры, причём его масса в атмосфере составляет ${\displaystyle \alpha =10^{-5}}$ % от массы всей атмосферы, у поверхности Венеры ускорение свободного падения ${\displaystyle g=8,2}$ м/с², а температура ${\displaystyle T=800}$ K, молярная масса озона ${\displaystyle \mu =48}$ г/моль, универсальная газовая постоянная ${\displaystyle R=8{,}31}$ Дж/(моль·K), равна ${\displaystyle {\frac {\alpha RT}{\mu g}}\approx 1{,}7}$ мм^[3].

Пример 4. Момент инерции тонкостенной сферы. Для оси, проходящей через центр тонкостенной сферы массой ${\displaystyle m}$ и радиусом ${\displaystyle r}$, момент равен ${\displaystyle {\frac {2}{3}}mr^{2}}$^[11].

Пример 5. Потенциал однородного сферического слоя

В силу радиальности и сферической симметрии из закона Гаусса следует, что поле вне сферического слоя во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сферического слоя — нуль^[12].

• Асламазов Л. Г., Варламов А. А.^[англ.]. Удивительная физика. Предисл. А. А. Абрикосова. М.: «Наука», 1987. 159 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 63.)
• Бохнер С., Мартин У. Т.^[англ.] Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том II. М.: «Высшая школа», 1981. 584 с.: ил.
• Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм. 4-е изд., перераб. и доп. Под ред. И. А. Яковлева. М.: «Наука», 1977. 272 с.: ил.
• Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм: Учеб. пособие. Новосибирск: Новосиб. Ун-т, 2003. 267 с.: ил.
• Яковлев И. В. Сферический слой // Подготовка к олимпиадам, ДВИ и ЕГЭ по математике и физике Архивная копия от 5 июля 2024 на Wayback Machine
• Aslamazov L. G., Varlamov A. A.^[англ.] The wonders of physics. Scientific Editor A. A. Abrikosov Jr. Translators A. A. Abrikosov Jr & D. Znamenski. Singapore · New Jersey · London · Hong Kong: World Scientific, 2001. [Асламазов Л. Г., Варламов А. А.. Удивительная физика. Предисл. А. А. Абрикосова. М.: «Наука», 1987. 159 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 63.)]
• Salomon Bochner, William Ted Martin^[англ.] Several Complex Variables. Princeton: Princeton University Press, 1948. 216 p. [Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных. Принстон: Издательство Принстонского университета, 1948.]
• Jaap Korevaar^[англ.], Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.
• Weisstein Eric W. Spherical Shell (англ.). Wolfram MathWorld. Wolfram Research (2025). Архивировано 24 марта 2025 года.

Статья является кандидатом в добротные статьи с 27 февраля 2025.