Теорема Биркгофа (относительность)

Теорема Биркгофа в общей теории относительности утверждает, что любое сферически—симметричное решение уравнений вакуумного поля должно быть статическим и асимптотически плоским. Это означает, что внешнее решение (то есть пространство-время вне сферического, невращающегося, гравитирующего тела) должно задаваться метрикой Шварцшильда.

Теорема была доказана в 1923 году Джорджем Дэвидом Биркгофом (автором другой известной теоремы Биркгофа, поточечной эргодической теоремы, лежащей в основе эргодической теории). Однако Стэнли Дезер недавно указал, что она была опубликована двумя годами ранее малоизвестным норвежским физиком Йорг Тофте Джебсен^[англ.].

Интуитивное обоснование

Интуитивная идея теоремы Биркгофа состоит в том, что сферически симметричное гравитационное поле должно создаваться каким-то массивным объектом в начале координат; если бы где-то ещё была другая концентрация массы-энергии, это нарушило бы сферическую симметрию, поэтому мы можем ожидать, что решение будет представлять изолированный объект. То есть поле должно исчезать на больших расстояниях, что (частично) и имеется в виду, когда мы говорим, что решение асимптотически плоское. Таким образом, эта часть теоремы как раз соответствует тому, что мы ожидаем от того факта, что общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации в Ньютоновский предел^[англ.].

Последствия

Вывод о том, что внешнее поле также должно быть стационарным, более удивителен и имеет интересное следствие. Предположим, у нас есть сферически-симметричная звезда фиксированной массы, которая испытывает сферические пульсации. Тогда теорема Биркгофа говорит, что внешняя геометрия должна быть шварцшильдовской; единственным эффектом пульсации является изменение положения звёздной поверхности. Это означает, что сферически пульсирующая звезда не может излучать гравитационные волны.

Обобщения

Теорему Биркгофа можно обобщить: любое сферически-симметричное и асимптотически плоское решение уравнений поля Эйнштейна/Максвелла без $\Lambda$ , должно быть статическим, поэтому внешняя геометрия сферически-симметричной заряженной звезды должна задаваться электровакуумом Рейснера-Нордстрëма^[англ.]. Обратите внимание, что в теории Эйнштейна-Максвелла существуют сферически-симметричные, но не асимптотически плоские решения, такие как вселенная Бертотти-Робинсона.

Ссылки

Deser, S & Franklin, J (2005). Schwarzschild and Birkhoff a la Weyl. American Journal of Physics. 73 (3): 261–264. arXiv:gr-qc/0408067. Bibcode:2005AmJPh..73..261D. doi:10.1119/1.1830505.
D'Inverno, Ray. Introducing Einstein's Relativity. — Oxford : Clarendon Press, 1992. — ISBN 0-19-859686-3. See section 14.6 for a proof of the Birkhoff theorem, and see section 18.1 for the generalized Birkhoff theorem.
Birkhoff, G. D. Relativity and Modern Physics. — Cambridge, Massachusetts : Harvard University Press, 1923.
Jebsen, J. T. (1921). Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum (On the General Spherically Symmetric Solutions of Einstein's Gravitational Equations in Vacuo). Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. 15: 1–9.