Тождество Эйлера (комплексный анализ)

Тождество Эйлера — частный случай формулы Эйлера при ${\displaystyle x=\pi }$➤, известное тождество, связывающее три фундаментальные математические константы:

${\displaystyle e^{i\pi }=-1,}$

где

${\displaystyle e}$ — число е, или основание натурального логарифма,

${\displaystyle i}$ — мнимая единица,

${\displaystyle \pi }$ — пи, отношение длины окружности к её диаметру.

Тождество Эйлера названо в честь швейцарского, немецкого и российского математика Леонарда Эйлера➤. Тождество считается образцом математической красоты➤, поскольку показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике.

Тождество Эйлера — это особый случай формулы Эйлера из комплексного анализа:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

для любого вещественного ${\displaystyle x}$. (Заметим, что аргументы тригонометрических функций ${\displaystyle \sin }$ и ${\displaystyle \cos }$ взяты в радианах). В частности

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$

А из того, что

${\displaystyle \cos \pi =-1}$

и

${\displaystyle \sin \pi =0,}$

следует

${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$

что даёт тождество:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества: сумма корней из единицы ${\displaystyle n}$-ой степени при ${\displaystyle n>1}$ равна ${\displaystyle 0}$:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.}$

Тождество Эйлера — это случай, когда ${\displaystyle n=2}$.

В другой области математики, используя возведение в степень кватерниона, можно показать, что подобное тождество также применимо к кватернионам. Пусть {i, j, k} — базисные элементы; тогда

${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.}$

В общем случае, если даны вещественные a₁, a₂, и a₃ такие, что a₁² + a₂² + a₃² = 1, то

${\displaystyle e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.}$

Для октонионов, с вещественным a_n таким, что a₁² + a₂² + ... + a₇² = 1, и с базисными элементами октонионов {i₁, i₂, ..., i₇},

${\displaystyle e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.}$

Тождество Эйлера, объединяющее три основные математические операции (сложение, умножение и возведение в степень) и пять фундаментальных математических констант, принадлежащих к четырём классическим областям математики (числа ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ относятся к арифметике, мнимая единица ${\displaystyle i}$ — к алгебре, число ${\displaystyle \pi }$ — к геометрии, а число e — к математическому анализу^[1]), произвело глубокое впечатление на научный мир, мистически истолковывалось как символ единства математики, и часто приводится как пример глубокой математической красоты.

Тождество Эйлера вызвало множество восторженных отзывов.

• Карл Фридрих Гаусс говорил, что если эта формула сразу не очевидна для студента, то он никогда не превратится в первоклассного математика^[2].
• Профессор математики, натурфилософии и астрономии Гарвардского университета Бенджамин Пирс после доказательства на лекции тождества Эйлера заявил, что «это, наверное, правда, но она абсолютно парадоксальна; мы не можем понять её, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали её, и поэтому мы знаем, что она должна быть достоверной»^[3].
• Физик Ричард Фейнман называл (1977) тождество Эйлера «нашим сокровищем» и «самой замечательной формулой в математике»^[4].
• Профессор математики Стэнфордского университета Кит Девлин^[англ.] в своем эссе «Самое прекрасное уравнение» (2002) сказал: «Как шекспировский сонет схватывает саму суть любви, или картина раскрывает красоту человеческой формы, намного более глубокую, чем просто кожа, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования»^[5].
• Почётный профессор Университета Нью-Гемпшира Пол Нахин^[англ.] в своей книге, посвящённой формуле Эйлера и её применению в анализе Фурье, описывает тождество Эйлера как «изысканную красоту»^[5].
• По мнению популяризатора математики Констанс Рид, это тождество является «самой знаменитой формулой во всей математике»^[6].

Опрос читателей, проведённый математическим журналом The Mathematical Intelligencer в 1990 году, назвал тождество Эйлера «самой красивой теоремой в математике»^[7]. В другом опросе читателей, проведённом физическим журналом PhysicsWorld в 2004 году, тождество Эйлера (вместе с уравнениями Максвелла) было названо «величайшим уравнением в истории»^[8].

Исследование мозга шестнадцати математиков показало, что «эмоциональный мозг» (в частности, медиальная орбитофронтальная кора, реагирующая на прекрасную музыку, поэзию, картины и т. д.) активировался более последовательно в случае тождества Эйлера, чем в отношении любой другой формулы^[9].

Формула Эйлера, из которой сразу следует тождество Эйлера, впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (лат. Logometria), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году^[10] (когда Эйлеру было 7 лет), и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат. Harmonia mensurarum) в 1722 году^[11].

Эйлер опубликовал формулу Эйлера в её привычном виде в статье 1740 года во время его работы в Петербургской академии наук и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum) (1748)^[12].

Однако, в работах Эйлера 1740 и 1748 годов не фигурирует именно тождество Эйлера (в его нынешнем классическом виде), где возможно, что он его никогда не выводил. Есть вероятность, что Эйлер мог получить информацию о формуле Эйлера через своего швейцарского соотечественника Иоганна Бернулли^[13].

По мнению Робина Уилсона^{[англ.][14]}:

Мы видели, как оно [тождество Эйлера] может быть легко выведено из результатов Иоганна Бернулли и Роджера Котса, но, похоже, ни один из них этого не сделал. Даже Эйлер, кажется, не записал этого в явном виде — и, конечно, оно не фигурирует ни в одной из его публикаций — хотя он, несомненно, понял, что это немедленно следует из его тождества [в данном случае — формулы Эйлера], e^ix = cos x + i sin x. Более того, кажется, неизвестно, кто первым сформулировал результат явно…

• Тождеству Эйлера посвящён фильм Такаси Коидзуми «Любимое уравнение профессора^[англ.]».