Уравнение Ланжевена

Уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение.

Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение ${\displaystyle \mathbf {a} }$ броуновской частицы массы ${\displaystyle m}$ выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (закон Стокса), шумового члена ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)}$ (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счёт непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (\mathbf {x} )}$ — систематической силы, возникающей при внутримолекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

${\displaystyle m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}=\mathbf {\Phi } (\mathbf {x} )-\gamma \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}(t).}$

Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {1}{B}}{\dot {x}}+F(t)}$

Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:

${\displaystyle \langle F(t)\rangle =0}$

${\displaystyle \langle F(t_{1})F(t_{2})\rangle =b\delta (t_{1}-t_{2})}$

где b — некоторая константа, которую мы определим позже, ${\displaystyle \delta (t_{1}-t_{2})}$ — дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: её автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.

Перепишем уравнение в терминах скорости:

${\displaystyle {\dot {v}}=-\lambda v+{\frac {F}{m}}}$, где ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{mB}}}$

Пусть в начальный момент времени ${\displaystyle t=t_{0}}$ частица имела скорость ${\displaystyle v_{0}}$. Будем искать решение в виде: ${\displaystyle v(t)=u(t)\exp(-\lambda t)}$, тогда для ${\displaystyle u(t)}$ получим следующее дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\dot {u}}(t)=\exp(\lambda t){\frac {F}{m}}}$

В итоге, получаем искомое выражение для скорости:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\exp(-\lambda t)+\exp(-\lambda t)\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(\tau )}{m}}\exp(\lambda \tau )d\tau }$

Из него следуют два важных соотношения:

1. ${\displaystyle \langle v(t)\rangle =v_{0}\exp(-\lambda t)}$. То есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.
2. ${\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =v_{0}^{2}\exp(-2\lambda t)+{\frac {b}{2\lambda m^{2}}}\left(1-\exp(-2\lambda t)\right)}$. Средний квадрат скорости со временем стремится к значению ${\displaystyle {\frac {b}{2\lambda m^{2}}}}$. Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle b=2{\frac {k_{B}T}{B}}}$

Преобразованием исходного выражения можно получить, что:

${\displaystyle {\frac {d\left\langle x^{2}(t)\right\rangle }{dt}}={\frac {2}{\lambda }}\left\langle \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right\rangle }$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {x} ^{2}\right\rangle =6k_{B}TBt}$

Откуда следует соотношение Эйнштейна:

${\displaystyle D=k_{B}TB}$

где B — подвижность броуновской частицы.

• W. T. Coffey, Yu. P. Kalmykov, J. T. Waldron, The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics — Vol 14. (The First Edition is Vol 10)
• Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation

Для улучшения этой статьи желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Оформить список литературы. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.