Уравнение состояния Ми — Грюнайзена

Уравнение состояния Ми — Грюнайзена — это уравнение, описывающее связь между давлением и удельным объёмом в среде при заданной температуре. Это уравнение в том числе используется для определения давления в процессе ударного сжатия твёрдого тела. Названо в честь немецкого физика Эдуарда Грюнайзена. Уравнение состояния Ми — Грюнайзена представляется в следующей^[1] форме:

${\displaystyle p-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}(e-e_{0}),}$

где ${\displaystyle p_{0}}$ и ${\displaystyle e_{0}}$ — давление и внутренняя энергия в известном начальном состоянии, ${\displaystyle V}$ — объём, ${\displaystyle p}$ — полное давление, ${\displaystyle e}$ — внутренняя энергия, и ${\displaystyle \Gamma }$ — безразмерный коэффициент Грюнайзена, который определяет тепловое давление в правой части из тепловой энергии колеблющихся атомов, а ${\displaystyle p_{0}}$ — давление на известной кривой в плоскости ${\displaystyle p-V}$, например изотерм при комнатной температуре или абсолютном нуле (холодное давление).

Функция Грюнайзена^[2] — мера изменения давления при изменении энергии системы при постоянном объёме. Она определяется по соотношению:

${\displaystyle \Gamma =V\left({\frac {dp}{de}}\right)_{V}.}$

Производная берётся при постоянном объёме.

Уравнение Ми — Грюнайзена предполагает линейную зависимость давления от внутренней энергии. Для определения функции Грюнайзена используются методы статистической физики и предположение о линейности межатомных взаимодействий.

Оно используется для решения определённых термо-механических задач: определении эффектов ударной волны, термическом расширении твёрдых тел, быстром нагревании материалов из-за поглощения ядерного излучения^[3].

Для вывода уравнения Ми — Грюнайзена используется уравнение Ранкина-Гюгонио для сохранения массы, момента и энергии:

${\displaystyle \rho _{0}U_{s}=\rho (U_{s}-U_{p})~~,\quad p_{H}-p_{H0}=\rho _{0}U_{s}U_{p}~~,\quad p_{H}U_{p}=\rho _{0}U_{s}\left({\frac {U_{p}^{2}}{2}}+E_{H}-E_{H0}\right),}$

где ρ₀ — относительная плотность, ρ — плотность после ударного сжатия, p_H — давление Гюгонио, E_H — удельная внутренняя энергия (на единицу массы) Гюгонио, U_s — скорость удара, и U_p — скорость частиц.

Типичные различные для разных материалов величины для моделей в форме Ми — Грюнайзена.^[4]

Материал	${\displaystyle \rho _{0}}$ (kg/m3)	${\displaystyle c_{0}}$ (m/s)	${\displaystyle s}$	${\displaystyle \Gamma _{0}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle p_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$ (K)
Медь	8924	3910	1.51	1.96	1	0	0
Вода	1000	1483	2.0	2.0	10−4	0	0

Выражение для параметра Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями в пространстве размерности ${\displaystyle d}$ имеет вид^[1]:

${\displaystyle \Gamma _{0}=-{\frac {1}{2d}}{\frac {\Pi '''(a)a^{2}+(d-1)\left[\Pi ''(a)a-\Pi '(a)\right]}{\Pi ''(a)a+(d-1)\Pi '(a)}},}$

где ${\displaystyle \Pi }$ — потенциал межатомного взаимодействия, ${\displaystyle a}$ — равновесное расстояние, ${\displaystyle d}$ — размерность пространства. Связь параметра Грюнайзена с параметрами потенциалов Леннард-Джонса, Ми и Морзе представлена в таблице.

Решетка	Размерность	Потенциал Леннард-Джонса	Потенциал Ми	Потенциал Морзе
Цепочка	${\displaystyle d=1}$	${\displaystyle 10{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {m+n+3}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3\alpha a}{2}}}$
Треугольная решётка	${\displaystyle d=2}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle {\frac {m+n+2}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {3\alpha a-1}{4}}}$
ГЦК, ОЦК	${\displaystyle d=3}$	${\displaystyle {\frac {19}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {n+m+1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {3\alpha a-2}{6}}}$
«Гиперрешётка»	${\displaystyle d=\infty }$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$
Общая формула	${\displaystyle d}$	${\displaystyle {\frac {11}{d}}-{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {m+n+4}{2d}}-{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3\alpha a+1}{2d}}-{\frac {1}{2}}}$

Выражение для параметра Грюнайзена одномерной цепочки с взаимодействиями посредством потенциала Ми, приведенное в таблице, в точности совпадает с результатом статьи^[5].

• Термодинамическое равновесие

1. ↑ ^{1 2} Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры // Известия РАН. Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3. — С. 67—72.
2. ↑ Vocadlo L., Poirer J.P., Price G.D. Grüneisen parameters and isothermal equations of state. American Mineralogist. — 2000. V. 85. — P. 390—395.
3. ↑ Harris P., Avrami L. Some Physics of the Gruneisen Parameter. Technical report. — 1972.
4. ↑ Shyue K.-M., A Fluid-Mixture Type Algorithm for Compressible Multicomponent Flow with Mie-Gruneisen Equation of State // Journal of Computational Physics. — 2001. Vol. 52. 3363 p.
5. ↑ MacDonald, D. K. C.; Roy, S.K. (1955), Vibrational Anharmonicity and Lattice Thermal Properties. II, Phys. Rev., 97: 673–676, doi:10.1103/PhysRev.97.673