Родился 29 сентября 1923 года в Москве, в семье учителей глухонемых детей. В 1941 году окончил среднюю школу.
С июня 1942 года по сентябрь 1946 года служил в Красной Армии на научно-испытательном полигоне. В 1946 году был демобилизован в звании младшего лейтенанта и поступил на механико-математический факультет МГУ, который окончил в 1950 году, в течение первого года сдав экзамены за два первых курса[1].
В 1953 году окончил аспирантуру механико-математического факультета, защитил кандидатскую диссертацию «Плоская задача дифракции упругих волн» (научный руководитель — И. Г. Петровский, при участии С. Л. Соболева)[1] и был оставлен на кафедре дифференциальных уравнений этого факультета. В 1976 году защитил докторскую диссертацию «Дифракция волн на многогранниках»[1].
С 1953 года до конца жизни работал на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ, с 1955 года — в должности доцента, с 1978 года — в должности профессора. Опубликовал более 70 научных работ и несколько монографий, прочитал ряд обязательных и специальных курсов по дифференциальным уравнениям[1].
Одной из первых опубликованных работ А. Ф. Филиппова стало элементарное доказательство теоремы Жордана[2].
К основным научным достижениям А. Ф. Филиппова относятся:
введение понятия устойчивости разностной схемы (совместно с В. С. Рябеньким) и доказательство фундаментального факта, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость (теорема Филиппова-Рябенького).[3][4] Книга В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова «Об устойчивости разностных уравнений» (1956) является первой в мире монографией об устойчивости разностных схем.[5]
