Вычислительная теория групп

Вычислительная теория групп — область науки на стыке математики и информатики^[1], изучающая группы с помощью вычислительных машин. Она связана с проектированием, анализом алгоритмов и структур данных для вычисления различных характеристик (чаще всего — конечных) групп. Область интересна исследованием важных с различных точек зрения групп, данные о которых невозможно получить вычислениями вручную.

Основные направления исследований связаны с алгоритмами для^[1]:

• конечно заданных групп^[2],
• полициклических и конечных разрешимых групп,
• групп перестановок^[3],
• матричных групп,
• теории представлений.

Важные алгоритмы в вычислительной теории групп включают:

• алгоритм Шрайера—Симса для нахождения порядка группы перестановок,
• алгоритм Тодда—Коксетера и алгоритм Кну́та—Бендикса для перечисления классов смежности,
• алгоритм перемножения—замены для нахождения случайного элемента группы.

Реализации алгоритмов вычислительной теории групп доступны, в частности, в двух известных системах компьютерной алгебры, GAP и MAGMA.

Некоторые достижения, непосредственно связанные с вычислительной теорией групп:

• полное перечисление всех конечных групп порядка меньше 2000,
• вычисление представлений всех спорадических групп.

• Derek F. Holt, Bettina Eick, Bettina, Eamonn A. O’Brien, «Handbook of computational group theory», Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2005. ISBN 1-58488-372-3
• Charles C. Sims, «Computation with Finitely-presented Groups», Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol 48, Cambridge University Press, Cambridge, 1994. ISBN 0-521-43213-8
• Ákos Seress, «Permutation group algorithms», Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 152, Cambridge University Press, Cambridge, 2003. ISBN 0-521-66103-X.
• Обзор (на англ.) данной области от Ákos Seress из Университета штата Огайо, являющийся расширенной версией статьи в журнале «Заметки Американского математического общества». Имеется также обзор (на англ.) от Чарльза Симса из Rutgers University и более старый (на англ.) — от Joachim Neubüser из RWTH Aachen.