Цоколь (математика)Термин цоколь имеет несколько связанных значений в математике. Цоколь группыВ контексте теории групп цоколь группы G, обозначается soc(G), — это подгруппа, генерируемая характеристически простыми подгруппами[англ.] группы G. Может случиться, что группа не имеет минимальной нетривиальной нормальной подгруппы (то есть любая нетривиальная нормальная подгруппа содержит другую такую подгруппу), в этом случае цоколь определяется как подгруппа, генерируемая единичным элементом. Цоколь является прямым произведением характеристически простых групп[1]. Как пример, рассмотрим циклическую группу Z12 с генератором u, которая имеет две минимальные нормальные подгруппы, одна генерируется элементом u 4 (который даёт нормальную подгруппу с 3 элементами), а другая — элементом u 6 (который даёт нормальную подгруппу с 2 элементами). Тогда цоколь группы Z12 — это группа, генерируемая элементами u 4 и u 6, которая просто генерируется элементом u 2. Цоколь является характеристической подгруппой, а следовательно, нормальной подгруппой. Она, однако, не обязательно является транзитивно нормальной[англ.]. Если группа G является конечной разрешимой группой, то цоколь можно выразить в виде произведения элементарных абелевых[англ.] p-групп. В этом случае он просто является произведением копий Z/pZ для различных p, где некоторые p могут встречаться несколько раз. Цоколь модуляВ контексте модуля над кольцом и теории колец цоколь модуля M над кольцом R определяется как сумма минимальных ненулевых подмодулей модуля M. Он может рассматриваться как двойственный для радикала модуля[англ.]. В обозначениях теории множеств
что эквивалентно
Цоколь кольца R может относиться к одному из множеств в кольце. Предположим, что определён правый модуль R, soc(RR), и определён левый модуль, soc(RR). Оба эти цоколя являются идеалами колец и известно, что они не обязательно совпадают.
Цоколь алгебры ЛиВ контексте алгебр Ли цоколь симметричной алгебры Ли[англ.] — это собственное пространство его структурных автоморфизмов, которые соответствуют собственному значению −1. (Симметричная алгебра Ли разбивается на прямую сумму её цоколя и коцоколя[англ.].)[3]. См. такжеПримечания
Литература
|
Portal di Ensiklopedia Dunia