Теория Сера

Теория Сера (Серфа) — направление в дифференциальной топологии, в котором изучаются семейства гладких вещественнозначных функций ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ на гладком многообразии ${\displaystyle M}$, их типичные особенности и топология подпространств, которую эти особенности определяют, как подпространств пространства функций. Названа именем Жана Сера (фр. Jean Cerf), получившего основные результаты в этом направлении в конце 1960-х годов.

Предпосылкой является основной результат теории Морса: если ${\displaystyle M}$ компактно, любая гладкая функция ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ может быть приближена функцией Морса и для многих целей можно заменить произвольные функции на ${\displaystyle M}$ функциями Морса. Дальнейшее обобщение зависит от ответа на вопрос: если есть 1-параметрическое семейство функций, которое начинается и кончается функциями Морса, можно ли быть уверенным, что всё семейство состоит из функций Морса? В общем случае ответ отрицательный, например, в семействе ${\displaystyle f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx}$ функция ${\displaystyle f_{-1}}$ не имеет критических точек, а ${\displaystyle f_{1}}$ является функцией Морса с двумя критическими точками ${\displaystyle x=\pm 1}$. Сер установил, что 1-параметрическое семейство функций между двумя функциями Морса может быть приближено семейством функций Морса во всех точках времени, кроме конечного числа. Вырождение проявляется в появлении или исчезновении критических точек.

Робион Кёрби использовал теорию Сера в качестве ключевого шага в обосновании исчисления Кёрби.

В общему случае, когда ${\displaystyle M}$ является компактным многообразием, пространство функций Морса ${\displaystyle \operatorname {Morse} (M\to \mathbb {R} )}$ является открытым и плотным в пространстве гладких функций ${\displaystyle \operatorname {Func} (M\to \mathbb {R} )}$ в топологии ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Функции Морса можно рассмотреть как открытый слой максимальной размерности в расслоении^[англ.] ${\displaystyle \operatorname {Func} (M\to \mathbb {R} )}$ (не утверждая о существовании такого расслоения, лишь предполагая его существование); в расслоённых пространствах открытый слой коразмерности 0 является открытым и плотным. По предположению, открытый слой с коразмерностью 0 пространства ${\displaystyle \operatorname {Func} (M\to R)}$ является ${\displaystyle \operatorname {Morse} (M\to \mathbb {R} )}$, то есть ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)^{0}=\operatorname {Morse} (M)}$. В расслоённом пространстве ${\displaystyle X}$ часто ${\displaystyle X^{0}}$ несвязно. Существенной характеристикой слоя с коразмерностью 1 ${\displaystyle X^{1}}$ является то, что любой путь в ${\displaystyle X}$, который начинается и кончается в ${\displaystyle X^{0}}$, может быть приближён путём, который пересекает ${\displaystyle X^{1}}$ перпендикулярно в конечном числе точек и не пересекает ${\displaystyle X^{i}}$ для любого ${\displaystyle i>1}$.

Тогда теория Сера — это теория, изучающая слои ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ с положительной коразмерностью, то есть ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)^{i}}$ для ${\displaystyle i>0}$. Например, в случае ${\displaystyle f_{t}(x)=x^{3}-tx}$ только для ${\displaystyle t=0}$ функция не является функцией Морса и ${\displaystyle f_{0}(x)=x^{3}}$ имеет кубическую вырожденную критическую точку, соответствующую появлению/исчезновению особенности.

Теорема Морса утверждает, что если ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ является функцией Морса, то рядом с критической точкой ${\displaystyle p}$ она сопряжена с функцией ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ вида:

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}}$,

где ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\}}$.

Теорема Сера для 1-параметрического семейства устанавливает существенное свойство слоя коразмерности один: если ${\displaystyle f_{t}\colon M\to \mathbb {R} }$ является 1-параметрическим семейством гладких функций на ${\displaystyle M}$ с ${\displaystyle t\in [0,1]}$ и ${\displaystyle f_{0},f_{1}}$ являются функциями Морса, то существует гладкое 1-параметрическое семейство ${\displaystyle F_{t}\colon M\to \mathbb {R} }$, такое, что ${\displaystyle F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1}}$, ${\displaystyle F}$ равномерно близка к ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle C^{k}}$-топологии на функциях ${\displaystyle M\times [0,1]\to \mathbb {R} }$. Более того, ${\displaystyle F_{t}}$ являются функциями Морса во всех точках, кроме конечного числа. В точках, в которых функция не является функцией Морса, функция имеет только одну вырожденную критическую точку ${\displaystyle p}$ и рядом с этой точкой семейство ${\displaystyle F_{t}}$ сопряжено с семейством:

${\displaystyle g_{t}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}}$,

где ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]}$. Если ${\displaystyle \epsilon _{1}=-1}$, это будет 1-параметрическое семейство функций, в котором создаются две критические точки (при возрастании ${\displaystyle t}$), а для ${\displaystyle \epsilon _{1}=1}$ это будет 1-параметрическое семейство, в котором две критические точки исчезают.

Кусочно-линейную^[англ.] задачу Шёнфлиса для ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ решил Александер в 1924 году; доказательство было перенесено для гладкого случая Морс и Байада^{[англ.][1]}. Сер использовал существенное свойство для доказательства, что любой сохраняющий ориентацию диффеоморфизм ${\displaystyle S^{3}}$ изотопен тождественному^[2], что рассматривается как 1-параметрическое расширение теоремы Шёнфлиса для ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$. Следствие ${\displaystyle \Gamma _{4}=0}$ в то время имело широкое применение в дифференциальной топологии. Позднее существенное свойство Сер использовал для доказательства теоремы о псевдоизотопии^{[англ.][3]} для многомерных односвязных многообразий. Доказательство является 1-параметрическим расширением доказательства Смейла теоремы о h-кобордизме (Морс, а также Милнор^[4] и Сер — Грамэн — Морен^[5] переписали по предложению Тома доказательство Смейла в терминах функциональной концепции).

Доказательство Сера построено на работе Тома и Мазера^[6][7].

Расслоение дополнения подпространства бесконечной коразмерности пространства гладких отображений ${\displaystyle \{f\colon M\to \mathbb {R} \}}$ изучил Сержерар^[8] в конце 1960-х — начале 1970-х годов.

В 1970-е годы задачу классификации для псевдоизотопий многообразий, не являющихся односвязными, решили Хатчер и Вагонер^[9], открыв алгебраические ${\displaystyle K_{i}}$-разрушения на ${\displaystyle \pi _{1}M}$ (${\displaystyle i=2}$) и ${\displaystyle \pi _{2}M}$ (${\displaystyle i=1}$), и Киёси Игуса, который открыл разрушения аналогичной природы на ${\displaystyle \pi _{1}M}$ (${\displaystyle i=3}$)^[10].

• Marston Morse, Emilio Baiada^[англ.]. Homotopy and homology related to the Schoenflies problem // Annals of Mathematics. — 1953. — Т. 58. — С. 142–165. — doi:10.2307/1969825.
• Mather J. Classification of stable germs by R-algebras // Publ. Math. IHES. — 1969.
• Golubitsky M., Guillemin V. Stable Mappings and Their Singularities. — Springer-Verlag, 1973. — Т. 14. — (Graduate Texts in Mathematics).
• Jean Cerf. Sur les difféomorphismes de la sphère de dimension trois (${\displaystyle \Gamma _{4}=0}$). — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1968. — Т. 53. — (Lecture Notes in Mathematics).
• Jean Cerf. La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie // Publications Mathématiques de l'IHÉS. — 1970. — Т. 39. — С. 5–173.
• Milnor J. Lectures on the h-cobordism theorem, Notes by L.Siebenmann and J.Sondow. — Princeton Math. Notes, 1965.
• Jean Cerf, Andre Gramain. Le theoreme du h-cobordisme (Smale). — Ecole Normale Superieure, 1968.
• Sergeraert F. Un theoreme de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.. — 1972. — Т. 5, вып. 4.
• Allen Hatcher, John Wagoner. Pseudo-isotopies of compact manifolds // Astérisque. — Paris: Société Mathématique de France, 1973. — Вып. 6.
• Igusa K. Stability theorem for smooth pseudoisotopies. K-Theory 2. — 1988. — Вып. 1—2.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.