Двострука тачност

Двострука тачност (енгл. double precision, double) је у рачунарству формат броја који за бележење бројевне вредности рационалног броја у покретном (пливајућем) зарезу. Користи се осам бајтова (64 бита) за запис броја. Притом интерпретација овог сегмента меморије зависи од оперативног система или саме структурираности група битова у запису.

Веома често се говори колоквијално о реалним бројевима у двострукој тачности, то су ипак рационални бројеви. Израз двострука тачност не значи да се тако може приказати број са двоструко више тачних децимала у односу на једноструку тачност. Целокупан запис броја је двоструко дужи, а тачност броја (која зависи од дужине мантисе) је уместо 23 повећана на 52 (или 55) бита, што је нешто више него двоструко више децимала. Поред овога, у двострукој тачности се може представити значајно шири опсег бројева.

IEEE754

Према стандарду IEEE 754, реални бројеви са двоструком тачношћу се деле на три дела: знак, експонент и фракцију (мантису). Тачнија подела битова по овим елементима је:

Знак броја одређује бит са највећом вредношћу индекса − 63 (највећом тежином), при чему вредност 1 означава негативан а 0 позитиван број.
Експонент је одређен са следећих 11 битова на местима 62 - 52. Овај број нема знака, а помоћу њега се одређује тзв. карактеристика која учествује у рачунању крајње вредности броја. Она се добија следећом формулом: карактеристика = експонент - 1023.
Фракција (мантиса) је вредност броја нормализована тако да се налази у опсегу веће или једнако 0,5 и мање од 1. Формирају је битови на позицијама 51 - 0. Овај број се у бинарној репрезентацији може представити као 0,1ббббббббббббб..... где су б битови који могу бити 0 или 1. Обзиром да увек на почетку стоји 0,1 ови битови се не морају физички појавити у запису, то јест може се имплицитно претпоставити да увек стоје ту. Зато се каже да мантиса представља 53 бита тачности иако су записана само 52 бита.

Двострука тачност има могућност представљања $\log _{10}(2^{53})\approx 15.955$ тачних цифара. Ако се каже да двоструком тачношћу може приказати број у „тачности од 16 децимала“ то је погрешно јер се може приказати првих 16 значајних цифара, без обзира где је децимална запета.

Тачна интерпретација оваквог броја гласи:

(-1)^знак · 2^{карактеристика} · (1, фракција )

односно математички

$broj=(-1)^{znak}(1+\sum _{i=1}^{52}\ b_{-i}2^{-i})\times 2^{(e-1023)}$

Пример

Рецимо да је у сагласности са овим стандардом задат бинарни број двоструке тачности, чију децималну репрезентацију треба наћи:

0011111010000100000000000000000000000000000000000000000000000000

Број ће прво бити подељен на знак, експонент и фракцију:

0 01111101000 010000...

А потом ће вредности параметара бити одређене:

S = 0
E = (01111101000)₂ = (1000)₁₀
M = (010000...)₂
C = E - 1023 = -23

Вредност = (-1)^S · (1.M)₂ · 2^C
= (-1)⁰ · (1.010000...)₂ · 2^-23
= 1 · (1 + 2^-2)₁₀ · 2^-23
= 1.25 · 2^-23