Инверзне тригонометријске функције

Инверзне тригонометријске функције су arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус), arctg x (аркус тангенс), arcctg x (аркус котангенс).^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] Оне су инверзне тригонометријским функцијама sin x (синус икс), cos x (косинус), tg x (тангенс), ctg x (котангенс).^[6]^[7]^[8]^[9] Префикс аркус им долази од латинске речи arcus - лук, угао. Називају се и циклометријске функције. У неким земљама пишу их на уобичајен, општи начин за инверзне функције: sin^-1x, cos^-1x, tg^-1x, ctg^-1x.^[10]^[11]

Поред ових постоје и инверзне тригонометријске функције аркус секанс (arcsec x) и аркус косеканс (arccsc x). Оне су инверзне тригонометријским функцијама секанс (sec x) и косеканс (csc x), које се мало ређе употребљавају. Њихове особине су детаљије описане уз појам: Равнинска тригонометрија.

Нотација

Постоји неколико записа за инверзне тригонометријске функције. Најчешћа конвенција је да се инверзне тригонометријске функције именују помоћу префикса arc: $arcsin(x)$ , $arccos(x)$ , $arctan(x)$ , etc.^[10]^[6] (Ова конвенција се користи у целом овом чланку.) Ова ознака произлази из следећих геометријских односа: при мерењу у радијанима, угао од θ радијана ће одговарати луку чија је дужина rθ, где је r полупречник круга. Тако је у јединичном кругу „лук чији је косинус x“ исти као „угао чији косинус је x“, јер је дужина лука круга у радијусима иста као и мерење угла у радијанима.^[12] У програмским језицима за рачунаре, инверзне тригонометријске функције често се називају скраћеним облицима asin, acos, atan.^[13]

Ознаке $sin -1 (x)$ , $cos -1 (x)$ , $tan -1 (x)$ , etc, које је увео Џон Хершел 1813. године,^[14]^[15] често се користе и у изворима на енглеском језику^[6] - конвенције конзистентне са записом инверзне функције. Ово би могло изгледати логички у супротности са уобичајеном семантиком израза као што је $sin 2 (x)$ , који се односе на нумеричку моћ, а не на састав функције, те стога може довести до забуне између мултипликативне инверзне или реципрочне и композиционо инверзне.^[16] Забуну донекле ублажава чињеница да свака од реципрочних тригонометријских функција има своје име - на пример, $(cos(x)) -1$ = $sec(x)$ . Ипак, неки аутори не саветују да се користи због њене двосмислености.^[6]^[17] Још једна конвенција коју користи неколико аутора је да се користи велико прво слово, заједно са $-1$ суперскриптом: $Sin -1 (x)$ , $Cos -1 (x)$ , $Tan -1 (x)$ , etc.^[18] Ово потенцијално избегава забуну са мултипликативном инверзијом, која би требало да буде представљена са $sin -1 (x)$ , $cos -1 (x)$ , etc.

Од 2009. године стандард ISO 80000-2 наводи само префикс „arc” за инверзне функције.

Основни концепти

Главне вредности

Тригонометријске функција нису узајамно инјективне, и стога се морају ограничити да би имале инверзне функције. Према томе, распони резултата инверзних функција су прави подскупови домена изворних функција.

На пример, коришћење функције у смислу вишезначних функција, баш као што би се могла дефинисати функција квадратног корена $y={\sqrt {x}}$ од $y^{2}=x,$ , функција $y=\arcsin(x)$ је дефинисанa тако да је $\sin(y)=x.$ За дати реални број $x,$ са $-1\leq x\leq 1,$ постоји више (заправо, пребројива бесконачност) бројева $y$ таквих да је $\sin(y)=x$ ; на пример, $\sin(0)=0,$ али је и $\sin(\pi )=0,$ $\sin(2\pi )=0,$ итд. Када се жели само једна вредност, функција може бити ограничена на њену главну грану. Са овим ограничењем, за свако $x$ у домену, израз $\arcsin(x)$ ће се проценити само на једну вредност, која се назива његова главна вредност. Ова својства се примењују на све инверзне тригонометријске функције.

Главне инверзне вредности су наведене у следећој табели.

Назив	Уобичајена ознака	Дефиниција	Домен од $x$ за реалан резултат	Опсег уобичајене главне вредности (radians)	Опсег уобичајене главне вредности (степени)
arcsine	$y=\arcsin(x)$	$x = sin (y)$	$-1\leq x\leq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }$
arccosine	$y=\arccos(x)$	$x = cos (y)$	$-1\leq x\leq 1$	$0\leq y\leq \pi$	$0^{\circ }\leq y\leq 180^{\circ }$
arctangent	$y=\arctan(x)$	$x = tan (y)$	сви реални бројеви	$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }<y<90^{\circ }$
arccotangent	$y=\operatorname {arccot}(x)$	$x = cot (y)$	сви реални бројеви	$0<y<\pi$	$0^{\circ }<y<180^{\circ }$
arcsecant	$y=\operatorname {arcsec}(x)$	$x = sec (y)$	$x\leq -1{\text{ or }}x\geq 1$	$0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi$	$0^{\circ }\leq y<90^{\circ }{\text{ or }}90^{\circ }<y\leq 180^{\circ }$
arccosecant	$y=\operatorname {arccsc}(x)$	$x = csc (y)$	$x\leq -1{\text{ or }}x\geq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y<0{\text{ or }}0<y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y<0^{\circ }{\text{ or }}0^{\circ }<y\leq 90^{\circ }$

(Напомена: Неки аутори дефинишу опсег arcsecant да је ( $0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}}$ ), јер је тангентна функција на овом домену неонегативна. Ово чини неке прорачуне доследнијим. На пример, користећи овај опсег, $\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},$ док је у опсегу ( $0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi$ ), се записује као $\tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},$ јер је тангента ненегативна на $0\leq y<{\frac {\pi }{2}},$ али непозитивна на ${\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .$ Из слично разлога, исти аутори дефинишу опсег функције arccosecant као $-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}$ или $0<y\leq {\frac {\pi }{2}}.$ )

Ако је $x$ комплексан број, онда је опсег $y$ применљив само на њен реални део.

Референце

^ Taczanowski, Stefan (1978-10-01). „On the optimization of some geometric parameters in 14 MeV neutron activation analysis”. Nuclear Instruments and Methods. ScienceDirect. 155 (3): 543—546. Bibcode:1978NucIM.155..543T. doi:10.1016/0029-554X(78)90541-4.
^ Hazewinkel, Michiel (1994) [1987]. Encyclopaedia of Mathematics (unabridged reprint изд.). Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media. ISBN 978-155608010-4.
^ Ebner, Dieter (2005-07-25). Preparatory Course in Mathematics (PDF) (6 изд.). Department of Physics, University of Konstanz. Архивирано (PDF) из оригинала 2017-07-26. г. Приступљено 2017-07-26.
^ Mejlbro, Leif (2010-11-11). Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory (PDF) (1 изд.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-702-2. Архивирано из оригинала (PDF) 2017-07-26. г. Приступљено 2017-07-26.
^ Durán, Mario (2012). Mathematical methods for wave propagation in science and engineering. 1: Fundamentals (1 изд.). Ediciones UC. стр. 88. ISBN 978-956141314-6.
^ ^а ^б ^в ^г Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (јануар 1909). „Chapter II. The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions”. Написано на Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. стр. 15. Приступљено 2017-08-12. „[…] α = arcsin m: It is frequently read "arc-sine m" or "anti-sine m," since two mutually inverse functions are said each to be the anti-function of the other. […] A similar symbolic relation holds for the other trigonometric functions. […] This notation is universally used in Europe and is fast gaining ground in this country. A less desirable symbol, α = sin^-1m, is still found in English and American texts. The notation α = inv sin m is perhaps better still on account of its general applicability. […]”
^ Klein, Christian Felix (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (на језику: немачки). 1 (3rd изд.). Berlin: J. Springer.
^ Klein, Christian Felix (2004) [1932]. Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Превод: Hedrick, E. R.; Noble, C. A. (Translation of 3rd German изд.). Dover Publications, Inc. / The Macmillan Company. ISBN 978-0-48643480-3. Приступљено 2017-08-13.
^ Dörrie, Heinrich (1965). Triumph der Mathematik. Превод: Antin, David. Dover Publications. стр. 69. ISBN 978-0-486-61348-2.
^ ^а ^б „Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault (на језику: енглески). 2020-03-25. Приступљено 2020-08-29.
^ Weisstein, Eric W. „Inverse Trigonometric Functions”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-29.
^ Beach, Frederick Converse; Rines, George Edwin, ур. (1912). „Inverse trigonometric functions”. The Americana: a universal reference library. 21.
^ John D. Cook (2021-02-11). „Trig functions across programming languages”. Приступљено 2021-03-10.
^ Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics (2 изд.). New York, NY: The Macmillan Company. стр. 272.
^ Herschel, John Frederick William (1813). „On a remarkable Application of Cotes's Theorem”. Philosophical Transactions. Royal Society, London. 103 (1): 8. doi:10.1098/rstl.1813.0005 .
^ „Inverse Trigonometric Functions | Brilliant Math & Science Wiki”. brilliant.org (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-29.
^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. „21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions”. Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review (3 изд.). Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. стр. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.
^ Bhatti, Sanaullah; Nawab-ud-Din; Ahmed, Bashir; Yousuf, S. M.; Taheem, Allah Bukhsh (1999). „Differentiation of Trigonometric, Logarithmic and Exponential Functions”. Ур.: Ellahi, Mohammad Maqbool; Dar, Karamat Hussain; Hussain, Faheem. Calculus and Analytic Geometry (на језику: енглески) (1 изд.). Lahore: Punjab Textbook Board. стр. 140.