Квадратни пирамидални број

Овај чланак садржи списак литературе (штампане изворе и/или веб-сајтове) коришћене за његову израду, али његови извори нису најјаснији зато што има премало извора који су унети у сам текст. Молимо вас да побољшате овај чланак тако што ћете додати још извора у сам текст (редних референци). (детаљније о уклањању овог шаблона обавештења)

У математици, пирамидални број, или квадратни пирамидални број је фигуративни број који представља број наслаганих сфера у пирамиди са квадратом у основи. Квадратни пирамидални бројеви решавају проблем бројања квадрата у n × n мрежи.

Први нови квадратни пирамидални бројеви су:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, ...

Ови бројеви се могу написати у формули као

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}.}$

Ово је специјални случај Фаулхаберове формуле, и може се доказати математичком индукцијом.^[1] Еквивалентна формула је дата у Фибоначијевом Либер Абачију (1202, ch. II.12).

У савременој математици, фигуративни бројеви се формализују од Ехрхартових полинома. Ехрхартов полином L(P,t) полоедра P је полином који пребројава целе поене у копији P који се проширио множењем свих својих координата бројем  t. Ехрхартов полином пирамиде чија је основа јединични квадрат са целим координатама, а чији је врх цео број тачке на висини један изнад базне равни, је (t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = P_{t + 1}.^[2]

Једини квадратни пирамидални бројеви у облику n*(n+1)*(n+2)*(n^2+2*n+17)/120 су 0, ±1, ±5 и ±91.

Троугаони бројеви ≤10^30 који су такође квадратни пирамидални бројеви су 0, 1, 55, 91 и 208335. Доказано је одавно да је ова секвенца комплетна.

Такође, квадрати ≤10^30 који су такође квадратни пирамидални бројеви су 0, 1 и 4900. Лукас је претпоставио и G. N. Watson доказао 1918. године да је секвенца комплетна.

Квадратни пирамидални бројеви могу бити изражени као суме биномних коефицијената:

${\displaystyle P_{n}={{n+2} \choose 3}+{{n+1} \choose 3}.}$

Биномни коефицијенти који се јављају у овој репрезентацији су тетраедски бројеви, и ова формула изражава квадратни пирамидални број као збир два театраедарска броја на исти начин као што су квадратни бројеви суме два узастопна троугаона бројева. У овом збиру, један од два тетраедарска броја рачуна лопте у сложеној пирамиде које су директно изнад или на једној страни дијагонале базе квадрата, а са друге тетраедарски број у износу рачуна лопте које су на другој страни дијагонале. Квадратни пирамидални бројеви су такође повезани са тетраедарским бројевима на другачији начин:

${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}.}$

Збир два узастопна квадратна пирамидална броја је октаедарски број.

Повећавајући пирамиду чији ивица базе има n лопти додавањем једног њиховог троугла добијамо тетраедар чија ивица базе има n − 1 лопту даје троугласту призму. Еквивалентно, пирамида се може изразити као резултат одузимања тетраедра из призме. Овај геометријски аорт доводи до још једне везе:

${\displaystyle P_{n}=n{\binom {n+1}{2}}-{\binom {n+1}{3}}.}$

Осим 1, постоји само једна цифра која је и квадрат и број пирамида: 4900, што је и 70. квадратни број и 24. квадратни пирамидални број. Ову чињеницу је доказао Г. Н. Ватсон 1918. године.

Други однос подразумева Паскалов троугао: Док класични Паскалов тругао са странама (1,1) има дијагонале са природним бројевима, троугаони бројеви, и тетраедарски бројеви, генерисање Фибоначијевих бројева као сума узорковања преко дијагонала, сестра Паскал са странама (2,1) има једнаке дијагонале са непарним бројевима, квадратним бројевима и квадратним пирамидалним бројевима, и генерише (по истој процедури) и Лукасове бројеве, радије него Фибоначијеве.

На исти начин се квадратни пирамидални бројеви могудефинисати као збир узастопних квадрата, квадратни троугласти бројеви се могу дефинисати као збир узастопних кубова.

Заједничка математичка загонетка подразумева проналажење броја квадрата у великој n од n квадратне мреже. Овај број може да се изведе на следећи начин:

• Број 1 × 1 кутија налазе мрежу  n².
• Број 2 × 2 кутија налази мрежу (n − 1)². Ово се може рачунати бројањем свих могућих горњих левих углова 2 × 2 кутија.
• Број k × k кутија (1 ≤ k ≤ n) налази мрежу (n − k + 1)². Ово се може рачунати бројањем свих могућих горњих левих углова  k × k кутија.

Из тога следи да је број квадрата у n × n квадратној мрежи:

${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots +1^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}$

То је решење загонетке дато од стране квадратних пирамидалних бројева.

Број правоугаоника у квадратној мрежи дат од стране квадратних троугаоних бројева.

Разлика два узастопна квадрата бројева је увек непаран број. Прецизније, због идентитета k² − (k − 1)² = 2k − 1, разлика између k-тог и (k − 1)тог квадрата броја је 2k − 1. Ово доводи до следеће шеме:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}0&&1&&4&&9&&16&&25&\ldots &(n-1)^{2}&&n^{2}\\&1&&3&&5&&7&&9&&\ldots &&2n-1&\end{array}}}$

Стога сваки квадратни број може бити написан као сума непарних бројева, који је ${\displaystyle n^{2}=\sum _{i=1}^{n}2i-1}$. Ова репрезентација квадратних бројева може да се користи да се изрази збир првих n квадратних бројева непарним бројем распоређеним у троуглу са збиром свих бројева у троуглу једнаким збиру првих n квадратних бројева:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccccc}\scriptstyle 1^{2}\scriptstyle =&1&&&&&&&\\\scriptstyle 2^{2}\scriptstyle =&1&3&&&&&&\\\scriptstyle 3^{2}\scriptstyle =&1&3&5&&&&&\\\scriptstyle 4^{2}\scriptstyle =&1&3&5&7&&&&\\\scriptstyle 5^{2}\scriptstyle =&1&3&5&7&9&&&\\\vdots &\vdots &&&&&\ddots &&\\\scriptstyle (n-1)^{2}\scriptstyle =&1&\cdots &&&&\cdots &\scriptstyle 2n-3&\\\scriptstyle n^{2}\scriptstyle =&1&\cdots &&&&\cdots &\scriptstyle 2n-3&\scriptstyle 2n-1\end{array}}}$

Исти непарни бројеви су сада распоређени на два различита начина у подударним троугловима.

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}\scriptstyle 2n-1&&&&&&\\\scriptstyle 2n-3&\scriptstyle 2n-3&&&&&\\\vdots &&\ddots &&&&\\9&\cdots &\cdots &9&&&&\\7&\cdots &\cdots &7&7&&&\\5&\cdots &\cdots &5&5&5\\3&\cdots &\cdots &3&3&3&3\\1&\cdots &\cdots &1&1&1&1&1\\\hline \scriptstyle =n^{2}&\scriptstyle =(n-1)^{2}&\cdots &\scriptstyle =5^{2}&\scriptstyle =4^{2}&\scriptstyle =3^{2}&\scriptstyle =2^{2}&\scriptstyle =1^{2}\end{array}}}$    ${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}1&&&&&&&\\3&1&&&&&&\\5&3&1&&&&&\\7&5&3&1&&&&\\9&7&5&3&1&&&\\\vdots &&&&&\ddots &&\\\scriptstyle 2n-3&\cdots &&&&\cdots &1&\\\scriptstyle 2n-1&\scriptstyle 2n-3&&&&\cdots &&1\\\hline \scriptstyle =n^{2}&\scriptstyle =(n-1)^{2}&\cdots &\scriptstyle =5^{2}&\scriptstyle =4^{2}&\scriptstyle =3^{2}&\scriptstyle =2^{2}&\scriptstyle =1^{2}\end{array}}}$

Слагање три троугла један на врх јдругог доводи до колоне која се састоји од три броја, који имају својство да је њихов збир увек 2n + 1. На сваком врху збир колоне је 2n − 1 + 1 + 1 = 2n + 1. Сада, ако пређете из једне колоне у другу, онда ће се у једном троуглу број повећати за два, али у другом троуглу ће се смањити за два и остаје исти у трећем троуглу, стога збир колоне остаје константан. Има${\displaystyle 1+2+\ldots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ таквих колона, па је бир свих бројева у сва три троугла ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)(2n+1)}{2}}}$. То је три пута збир првих n квадратних бројева, тако да следи:

${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

• Фигуративни број
• Полигонални број
• Троугаони број

• Hopcroft, John E.; Motwani, Rajeev; Ullman, Jeffrey D. (2007). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Pearson/Addison Wesley. стр. 20. ISBN 978-0-321-45536-9. 
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A., ур. (1964). Handbook of Mathematical Functions. Applied Math. Series. 55. National Bureau of Standards. стр. 813. ISBN 978-0-486-61272-0. 
• Beiler, A. H. (1964). Recreations in the Theory of Numbers. Dover. стр. 194. ISBN 978-0-486-21096-4. 
• Goldoni, G. (2002). „A visual proof for the sum of the first n squares and for the sum of the first n factorials of order two”. The Mathematical Intelligencer. 24 (4): 67—69. doi:10.1007/bf03025326. 
• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. стр. 260–261. ISBN 978-0-387-95419-6. 

• Weisstein, Eric W. „Square Pyramidal Number”. MathWorld.