Комплексна анализа

Комплексна анализа, традиционално позната као теорија функција комплексне променљиве, је грана математике која проучава функције комплексних бројева. Комплексна анализа је врло корисна у многим гранама математике, укључујући теорију бројева и примењену математику.^[1]^[2]

Комплексна анализа се посебно фокусира на аналитичке функције комплексних променљивих, које се обично деле у две главне класе: холоморфне функције и мероморфне функције. Како раздвојиви реални и имагинарни делови сваке аналитичке функције морају да задовоље Лапласову једначину, комплексна анализа је широко примењива на дводимензионе проблеме у физици.^[3]^[4]^[5]

Комплексне функције

Комплексна функција је функција у којој су независна променљива и зависна променљива обе комплексни бројеви. Прецизније, комплексна функција је функција која пресликава домен, који је подскуп комплексне равни такође у подскуп комплексне равни.

Код сваке комплексне функције, и независна променљива и зависна променљива могу бити раздвојене на реалан и имагинаран део:

z=x+iy\,

и

w=f(z)=u(z)+iv(z)\,

где су

x,y\in \mathbb {R} \,

и

u(z),v(z)\,

реалне функције.

Другим речима, компоненте функције f(z),

u=u(x,y)\,

и

v=v(x,y),\,

се могу интерпретирати као реалне функције две променљиве, x и y.

Основни појмови комплексне анализе се често уводе проширивањем елементарних реалних функција (експонената, логаритама и тригонометријских функција) у комплексан домен.

Изводи и Коши-Риманове једначине

Као и у реалној анализи, глатка комплексна функција w = f(z) може да има извод у појединачној тачки свог домена Ω. У ствари, дефиниција извода

f^{\prime }(z)={\frac {dw}{dz}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\,

је аналогна оној у реалној анализи, уз једну врло битну разлику. У реалној анализи, лимесу се може прићи само дуж једнодимензионе праве. У комплексној анализи, лимесу се може прићи из било ког правца дуж дводимензионе комплексне равни.

Ако овај лимес, извод, постоји у свакој тачки z из Ω, онда се каже да је f(z) диференцијабилна на Ω. Може се показати да је свака диференцијабилна функција f(z) аналитичка. Ово је много моћнији резултат него код аналогне теореме која се може доказати за реалне функције. У реалној анализи можемо да конструишемо функцију f(x) која има први извод на целом домену, али чији други извод не постоји у једној или више тачака домена. Међутим, у комплексној равни, ако је функција f(z) диференцијабилна у некој околини, она мора бити бесконачно диференцијабилна на тој околини.^[6]^[7]

Применом метода векторске анализе за израчунавање парцијалних извода две реалне функције u(x, y) и v(x, y) у које се функција f(z) може раставити, и разматрањем две путање које воде до тачке z из Ω, може се показати да извод постоји ако и само ако

f^{\prime }(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}.\,

Израчунавањем реалних и имагинарних делова ова два израза, добијамо традиционалну формулацију Коши-Риманових једначина:^[8]^[9]

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,

или записано на други начин,

u_{x}=v_{y}\qquad u_{y}=-v_{x}.\,

Диференцирањем овог система две парцијалне диференцијалне једначине прво у односу на x, а онда у односу на y, лако се може показати да

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0\,

или записано на други начин,

u_{xx}+u_{yy}=v_{xx}+v_{yy}=0.\,

Другим речима, реални и имагинарни делови диференцијабилне функције комплексне променљиве су хармоничке функције јер задовољавају Лапласову једначину.

Холоморфне функције

Холоморфне функције су комплексне функције дефинисане на отвореном подскупу комплексне равни које су диференцијабилне.^[10] Комплексна диференцијабилност има много јаче последице него уобичајена (реална) диференцијабилност. На пример, холоморфне функције су бесконачно диференцијабилне, што никако не важи за реално диференцијабилне функције. Већина елементарних функција, укључујући експоненцијалну функцију, тригонометријске функције, и све полиномијалне функције, су холоморфне.^[11]

Референце

^ Apostol, Tom M. „An Introduction to the Theory of Numbers”. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. Приступљено 28. 02. 2016.
^ Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
^ Stewart, James. Calculus : Early Transcendentals (7th изд.). стр. 908. ISBN 978-0-538-49790-9. , Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Chapter 14: Partial Derivatives. .
^ Zill, Dennis G, and Michael R Cullen. Differential Equations with Boundary-Value Problems. стр. 462. ISBN 978-1-111-82706-9. Непознати параметар |editionr= игнорисан (помоћ), Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Chapter 12: Boundary-value Problems in Rectangular Coordinates. .
^ Analytic functions of one complex variable, Encyclopedia of Mathematics. (European Mathematical Society ft. Springer, 2015)
^ See Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Превод: Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes.
^ Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4.
^ Euler, Leonhard (1797). „Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis”. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 10: 3—19.
^ Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. 1. Paris (објављено 1882). стр. 319—506.
^ Springer Online Reference Books, Wolfram MathWorld
^ Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).

Литература

Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4.
Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
Stephen D. Fisher, Complex Variables, 2 ed. (Dover, 1999).
Carathéodory, C., Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, New York). [2 volumes.]
Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 10 ed., Ch. 13–18 (Wiley, 2011).
Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. 3 ed. (Freeman, 1999).
Needham, T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
Rudin, W., Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).
Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
Spiegel, Murray R. Theory and Problems of Complex Variables – with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964).
Stein & Shakarchi, Complex Analysis (Princeton, 2003).
Ablowitz & Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Cambridge, 2003).
Blakey, Joseph (1958). University Mathematics (2nd изд.). London: Blackie and Sons. OCLC 2370110.
McKeague, Charles P. (2011). Elementary Algebra. Brooks/Cole. стр. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9.
Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). „Chapter P”. College Algebra and Trigonometry (6 изд.). Cengage Learning. стр. 66. ISBN 978-0-618-82515-8.
Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6.
Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6.
Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Section 5.5 Complex Arithmetic”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивирано из оригинала 13. 03. 2020. г. Приступљено 27. 06. 2023.
Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd изд.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9.
Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2.
Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1.
H.D. Ebbinghaus; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover изд.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2.
The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. 2005. ISBN 978-0-679-45443-4. . by Roger Penrose; Alfred A. Knopf. Chapters 4–7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.
Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra. ISBN 978-0-309-09657-7. . by John Derbyshire; Joseph Henry Press. (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.
Visual Complex Analysis. 1997. ISBN 978-0-19-853447-1. . by Tristan Needham; Clarendon Press. . (hardcover). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.
Conway, John B. (2005) [1978]. Functions of One Complex Variable I (2nd изд.). Springer. ISBN 978-0-387-90328-6.
d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. . Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.
Chanson, H. (2007). „Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange” [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 93 (5): 127—131. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050. doi:10.1051/lhb:2007072 .
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2.
Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1.
Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. стр. 32.
Gray, J. D.; Morris, S. A. (април 1978). „When is a Function that Satisfies the Cauchy–Riemann Equations Analytic?”. The American Mathematical Monthly. 85 (4): 246—256. JSTOR 2321164. doi:10.2307/2321164.
Looman, H. (1923). „Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen”. Göttinger Nachrichten (на језику: немачки): 97—108.
Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis (3rd изд.). McGraw Hill (објављено 1987). ISBN 0-07-054234-1.
Ahlfors, Lars (1953). Complex analysis (3rd изд.). McGraw Hill (објављено 1979). ISBN 0-07-000657-1.
Solomentsev, E.D. (2001). „Cauchy–Riemann conditions”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Stewart, Ian; Tall, David (1983). Complex Analysis (1st изд.). CUP (објављено 1984). ISBN 0-521-28763-4.