Teorija reprezentacije

Teorija reprezentacije je grana matematike koja proučava apstraktne algebarske strukture predstavljajući njihove elemente kao linearne transformacije vektorskih prostora,^[1] i proučava module za ove apstraktne algebarske strukture.^[2]^[3] U suštini, reprezentacija čini apstraktni algebrski objekat konkretnijim opisujući njegove elemente matricama i njegovim algebarskim operacijama (na primer, sabiranje matrica, množenje matrica). Teorija matrica i linearnih operatora je dobro izučena, tako da reprezentacija apstraktnijih objekata u smislu poznatih linearnih algebričnih objekata pomaže u sticanju uvida u svojstava, a ponekad i pojednostavljuje izračunavanja na apstraktnijim teorijama.

Algebrski objekti koji se mogu opisati uključuju grupe, asocijativne algebre i Lijeve algebre. Najprominentnija od njih (i istorijski prva) je teorija reprezentacije grupa, u kojoj su elementi grupe predstavljeni invertabilnim matricama na takav način da je grupna operacija množenje matrica.^[4]^[5]

Teorija reprezentacije je korisna metoda jer svodi probleme apstraktne algebre na probleme linearne algebre, oblast koja je dobro izučena.^[6] Nadalje, vektorski prostor na kojem je predstavljena grupa (na primer) može biti beskonačno dimenzionalan, i dopuštajući da bude, na primer, Hilbertov prostor, metode analize mogu se primeniti na teoriju grupa.^[7]^[8] Teorija reprezentacije je takođe važna u fizici jer, na primer, ona opisuje kako grupa simetrije fizičkog sistema utiče na rešenja jednačina koja opisuju taj sistem.^[9]

Teorija reprezentacije je iz dva razloga prožimajuća u više oblasti matematike. Prvo, primene teorije reprezentacije su raznovrsne,^[10] te pored uticaja na algebru, teorija reprezentacije:

osvetljava i generališe Furijeovu analizu putem harmonijske analize,^[11]
povezana je sa geometrijom putem invariantne teorije i Erlangenovog programa,^[12]
ima uticaja na teoriju brojeva putem automorfnih formi i programa Langlandsa.^[13]

Drugo, postoje različiti pristupi teoriji reprezentacije. Isti se objekti mogu proučavati metodama iz algebarske geometrije, teorije modula, teorije analitičkih brojeva, diferencijalne geometrije, teorije operatora, algebarske kombinatorike i topologije.^[14]

Uspeh teorije reprezentacije doveo je do brojnih generalizacija. Jedna od najčešćih je u teoriji kategorija.^[15] Algebarski objekti na koje se odnosi teorija reprezentacije mogu se posmatrati kao posebne vrste kategorija, a reprezentacije kao funktori iz kategorije objekta u kategoriju vektorskih prostora.^[5] Ovaj opis ukazuje na dve očigledne generalizacije: prvo, algebarski objekti se mogu zameniti opštijim kategorijama; drugo, ciljna kategorija vektorskih prostora može se zameniti drugim dobro izučenim kategorijama.

Definicije i koncepti

Neka je V vektorski prostor nad poljem F.^[6] Na primer, prostor V je Rⁿ ili Cⁿ, standardni n-dimenzionalni prostor od kolonskih vektora nad realnim ili kompleksnim brojevima, respektivno. U tom slučaju, ideja reprezentacione teorije je da se primeni apstraktna algebra konkretno koristeći n × n matrice realnih ili kompleksnih brojeva.

Postoje tri glavne vrste algebarskih objekata za koje se to može učiniti: grupe, asocijativne algebre i Lijeve algebre.^[16]^[5]

Skup svih invertabilnih n × n matrica je grupa pod matričnim množenjem, i teorija reprezentacije grupa analizira grupu opisivanjem („reprezentacijom”) njenih elemenata u smislu inverzibilnih matrica.
Matrično sabiranje i množenje sačinjavaju skup svih n × n matrica u asocijativnoj algebri, i stoga postoji korespondirajuća teorija reprezentacije asocijativnih algebri.
Ako se zameni matrično množenje MN sa matričnim komutatorom MN − NM, onda n × n matrice postaju umesto toga Lijeva algebra, što dovodi so teorije reprezentacije Lijevih algebri.

Ovo se generalizuje do bilo kog polja F i bilo kog vektorskog prostora V nad F, pri čemu linearne mape zamenjuju matrice i kompozicija zamenjuje matrično množenje: postoji grupa GL(V,F) automorfizama od V, asocijativna algebra End_F(V) svih endomorfizama od V, i korespondirajuća Lijeva algebra gl(V,F).

Reference

^ „The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mathematical Representation”. Math Vault (на језику: енглески). 1. 8. 2019. Приступљено 9. 12. 2019.
^ Classic texts on representation theory include Curtis & Reiner (1962) and Serre (1977). Other excellent sources are Fulton & Harris (1991) and Goodman & Wallach (1998)
^ „representation theory in nLab”. ncatlab.org. Приступљено 9. 12. 2019.
^ For the history of the representation theory of finite groups, see Lam (1998). For algebraic and Lie groups, see Borel (2001)
^ ^а ^б ^в Etingof, Pavel; Golberg, Oleg; Hensel, Sebastian; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena (10. 1. 2011). „Introduction to representation theory” (PDF). www-math.mit.edu. Приступљено 9. 12. 2019.
^ ^а ^б There are many textbooks on vector spaces and linear algebra. For an advanced treatment, see Kostrikin & Manin (1997)
^ Sally & Vogan 1989
^ Teleman, Constantin (2005). „Representation Theory” (PDF). math.berkeley.edu. Приступљено 9. 12. 2019.
^ Sternberg 1994
^ Lam 1998, стр. 372
^ Folland 1995
^ Goodman & Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997
^ Borel & Casselman 1979, Gelbart 1984
^ See the previous footnotes and also Borel (2001)
^ Simson, Skowronski & Assem 2007
^ Fulton & Harris 1991, Simson, Skowronski & Assem 2007, Humphreys 1972

Literatura

Alperin, J. L. (1986), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44926-7 .
Bargmann, V. (1947), „Irreducible unitary representations of the Lorenz group”, Annals of Mathematics, 48 (3): 568—640, JSTOR 1969129, doi:10.2307/1969129 .
Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5 .
Borel, Armand; Casselman, W. (1979), Automorphic Forms, Representations, and L-functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1435-2 .
Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (1962), Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7 .
Gelbart, Stephen (1984), „An Elementary Introduction to the Langlands Program”, Bulletin of the American Mathematical Society, 10 (2): 177—219, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6 .
Folland, Gerald B. (1995), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5 .
Шаблон:Fulton-Harris.
Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9 .
Gordon, James; Liebeck, Martin (1993), Representations and Characters of Finite Groups, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44590-0 .
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
Helgason, Sigurdur (1978), Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces, Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
Humphreys, James E. (1972a), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7 .
Humphreys, James E. (1972b), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, 21, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
Jantzen, Jens Carsten (2003), Representations of Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3527-2 .
Kac, Victor G. (1977), „Lie superalgebras”, Advances in Mathematics, 26 (1): 8—96, doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2 .
Kac, Victor G. (1990), Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46693-6 .
Knapp, Anthony W. (2001), Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4 .
Kim, Shoon Kyung (1999), Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64062-6 .
Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. (1997), Linear Algebra and Geometry, Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-049-7 .
Lam, T. Y. (1998), „Representations of finite groups: a hundred years”, Notices of the AMS, 45 (3,4): 361–372 (Part I), 465–474 (Part II) .
Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)], 34 (3rd изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 0214602 ; MR 0719371 (2nd ed.); MR 1304906(3rd ed.)
Olver, Peter J. (1999), Classical invariant theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55821-1 .
Peter, F.; Weyl, Hermann (1927), „Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe”, Mathematische Annalen, 97 (1): 737—755, doi:10.1007/BF01447892, Архивирано из оригинала 19. 8. 2014. г. .
Pontrjagin, Lev S. (1934), „The theory of topological commutative groups”, Annals of Mathematics, 35 (2): 361—388, JSTOR 1968438, doi:10.2307/1968438 .
Sally, Paul; Vogan, David A. (1989), Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1526-7 .
Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901909 .
Sharpe, Richard W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer, ISBN 978-0-387-94732-7 .
Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88218-7 .
Sternberg, Shlomo (1994), Group Theory and Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55885-3 .
Tung, Wu-Ki (1985). Group Theory in Physics (1st изд.). New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific. ISBN 978-9971966577.
Weyl, Hermann (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik (The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931 изд.), S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), ISBN 978-0-486-60269-1 .
Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2nd изд.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN 978-0-691-05756-9 .
Wigner, Eugene P. (1939), „On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group”, Annals of Mathematics, 40 (1): 149—204, JSTOR 1968551, doi:10.2307/1968551 .