Лијувилова теорема (комплексна анализа)

Лијувилова теорема је теорема из области комплексне анализе. Она гласи: ако је функција ${\displaystyle f}$ холоморфна над цијелим скупом комплексних бројева (${\displaystyle f\in H(\mathbb {C} )}$ и ограничена, тада је она идентички константа, тј. ${\displaystyle f\equiv const}$.

Нека је ${\displaystyle K_{R}=\{z||z-0|<R\}}$ круг са полупречником ${\displaystyle R}$ и центром у нули. Како је функција холоморфна у ${\displaystyle \mathbb {C} }$, она је холоморфна и унутар ${\displaystyle K_{R}}$, па можемо да је развијемо у Тејлоров ред:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-0)^{n},\forall z\in K_{R}}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{|\xi -0|=R}{\frac {f(\xi )}{(\xi -0)^{n+1}}}}$

Како је ${\displaystyle f}$ ограничена, онда постоји ${\displaystyle M>0}$ тако да је ${\displaystyle |f(z)|\leq M,\forall z\in \mathbb {C} }$. Зато важе Кошијеве неједнакости:

${\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {M}{R^{n}}}}$.

Одатле:

${\displaystyle n\neq 0:{\frac {M}{R^{n}}}\rightarrow 0,R\rightarrow \infty \Rightarrow |a_{n}|\rightarrow 0}$. (пустили смо да ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$ јер ће једначина бити иста за ма колико велико ${\displaystyle R}$).

${\displaystyle n=0:{\frac {M}{R^{n}}}={\frac {M}{R^{0}}}={\frac {M}{1}}=M\not \rightarrow 0}$

Пошто су сви коефицијенти у Тејлоровом развоју једнаки нули, осим коефицијента ${\displaystyle a_{0}}$, слиједи да је:

${\displaystyle f(z)=a_{0}\Rightarrow f(z)\equiv const}$.