Математичка константа

Математичка константа је величина, најчешће реални број или комплексни број, која се појављује у математичким формулама као сразмера међу величинама.^[1] Уобичајено је да се цели бројеви не разматрају као посебне математичке константе већ су то скоро увек трансцендентни бројеви који се не могу представити у неком затвореном облику, као полиноми рационалних бројева.

Основне математичке константе

Архимедова константа $π$

Константа $π$ (пи) има природну дефиницију у Еуклидовој геометрији (као однос између обима и пречника круга), али се може наћи на многим местима у математици: на пример, Гаусов интеграл у комплексној анализи, корени јединице у теорији бројева, и Кошијеве расподеле у вероватноћи. Међутим, њена свеприсутност није ограничена на чисту математику. Она се појављује у многим формулама у физици, а неколико физичких константи је најприродније дефинисано са $π$ или његовом реципрочном фактору. Дискутабилно је, међутим, да су ова појављивања фундаментална у било којем смислу. На пример, у уџбеничко нерелативистичко основно стање таласне функције атома водоника је

\psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{(\pi a_{0}^{3})^{1/2}}}e^{-r/a_{0}},

где је $a_{0}$ Боров радијус. Ова формула садржи $π$ , али није јасно да ли је та константа фундаментална у физичком смислу, или је то само одраз присуства $π$ у изразу ${4\pi r^{2}}$ за површину сфере са радијусом $r$ . Даље, ова формула даје само приближан опис физичке стварности, јер изоставља спин, релативност и квантну природу самог електромагнетног поља. Исто тако, присуство $π$ у формули Кулоновог закона у СИ јединицама зависи од избора јединица, и историјска је случајност везана за то како је Ђовани Ђорђи у праксу електромагнетизма увео такозвану пермитивност слободног простора 1901. године. Тачно је да када су изабране различите константе у једном односу, појава $π$ у другим односима је неизбежна, али та појава је увек из математичког разлога као у примеру горње таласне функције атома водоника, а не а физичког.

Нумеричка вредсност $π$ је приближно 3,1415926536 (секвенца A000796 у OEIS).

Ојлеров број $e$

Експоненцијални раст (зелено) описује многе физичке феномене.

Ојлеров број $e$ , такође познат и као константа експоненцијалног раста, појављује се у многим областима математике, а једна могућа дефиниција њене вредности је следећи израз:

e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

На пример, швајцарски математичар Јакоб Бернули је открио да се $e$ јавља у сложеној камати: рачун који почиње од $1 и доноси камату по годишњој стопи $R$ са континуираним сједињавањем, на крају ће се акумулирати у $e R$ долара. Константа $e$ такође има прмене у теорији вероватноће, где настаје на начин који није очигледно повезан са експоненцијалним растом. Ако се претпостави да се слот машина са вероватноћом победе игра $n$ пута. Тада је за велико $n$ (као што је милион) вероватноћа да се ништа неће добити приближно $1/ e$ и тежи овој вредности кад $n$ тежи бесконачности.

Друга примена $e$ , коју је делом открио Јакоб Бернули, заједно са француским математичарем Пјером Ремоном де Монмором, налази се у проблему растројства, познатом и као проблем провере шешира.^[2] Овде је $n$ гостију позвано на забаву, а на вратима сваки гост преда свој шешир батлеру који их затим смешта у обележене кутије. Батлер не зна имена гостију, па их мора ставити у насумично одабране кутије. Де Монморов проблем је: колика је вероватноћа да ниједан шешир не буде стављен у коректну кутију. Одговор је

p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}

и како $n$ тежи бесконачности, $p n$ се приближава $1/ e$ .

Нумеричка вредности од $e$ је приближно 2,7182818284 (секвенца A001113 у OEIS).

Табела математичких константи

Коришћене ознаке:

I — ирационалан број, A — алгебарски број, T — трансцедентан број, ? — непозната

Gen — уопштено, NuT — Теорија бројева, ChT — Теорија хаоса, Com — Комбинаторика, Inf — Теорија информација, Ana — Математичка анализа

Симбол	Приближна вредност	Име	Подручје	N	Први пут описана	Број познатих децимала
π	≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288	Пи, Архимедова константа или Лудолфов број	Gen, Ana	T	?	1,241,100,000,000
е	≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249	Напијерова константа, основа природног логаритма	Gen, Ana	T		50,100,000,000
√2	≈ 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807	Питагорина константа, квадратни корен из два	Gen	I,A		137,438,953,444
√3	≈ 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505	Теодорусова константа, квадратни корен из три	Gen	I,A
γ	≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243	Ојлер-Машеронијева константа	Gen, NuT	?		108,000,000
φ	≈ 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811	Златни однос	Gen	A		3,141,000,000
β^*	≈ 0.70258	Ебре-Трефетенова константа	NuT
δ	≈ 4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161	Фајгенбаумова константа	ChT
α	≈ 2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578	Фајгенбаумова константа	ChT
C₂	≈ 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014 55577	Константа двојног простог броја	NuT			5,020
M₁	≈ 0.26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585	Мајзел-Мертенсова константа	NuT		1866 1874	8,010
B₂	≈ 1.90216 05823	Брунова константа за двојне просте бројеве	NuT		1919	10
B₄	≈ 0.87058 83800	Брунова константа за просте квадруплете	NuT
Λ	> – 2.7 · 10⁻⁹	Брујин-Њуманова константа	NuT		1950?
K	≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411	Каталонова константа	Com			201,000,000
K	≈ 0.76422 36535 89220 66	Ландау-Рамануџанова константа	NuT	I (?)		30,010
K	≈ 1.13198 824	Вишнаватова константа	NuT			8
B´_L	≈ 1.08366	Лежандрова константа	NuT
μ	≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 027	Рамануџан-Солднерова константа	NuT			75,500
E_B	≈ 1.60669 51524 15291 763	Ердес-Борвајнова константа	NuT	I
Ω	?	Чејтинова константа	Inf	T
β	≈ 0.28016 94990	Бернштајнова константа	Ana
λ	≈ 0.30366 30029	Гаус-Кузмин-Вирзингова константа	Com		1974	385
D(1)	≈ 0.35323 63719	Хафнер-Сарнак-МекКерлијева константа	NuT		1993
λ μ	≈ 0.62432 99885	Голомб-Дикманова константа	Com NuT		1930 1964
	≈ 0.62946 50204	Кахенова константа
	≈ 0.66274 34193	Лапласова граница
	≈ 0.80939 40205	Алади-Фринстедова константа	NuT
Λ	≈ 1.09868 58055	Ленгјелова константа	Com		1992
	≈ 1.18656 91104	Кинчин-Левијева константа	NuT
	≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381	Аперијева константа			1979	1,000,000,000
θ	≈ 1.30637 78838 63080 69046	Милсова константа	NuT	?	1947
	≈ 1.45607 49485 82689 67139 95953 51116 54356	Бекхаусова константа
	≈ 1.46707 80794	Портерова константа	NuT		1975
	≈ 1.53960 07178	Либова константа коцкице леда (оригинал од 05.03.2005)	Com		1967
	≈ 1.70521 11401 05367	Нивенова константа	NuT		1969
	≈ 2.58498 17596	Сјерпинскијева константа
	≈ 2.68545 2001	Кинчинова константа	NuT	?	1934	7350
F	≈ 2.80777 02420	Франсен-Робинсонова константа	Ana
L	≈ .5	Ландауова константа	Ana			1

Референце

^ Weisstein, Eric W. „Constant”. MathWorld. Приступљено 13. 4. 2011.
^ Grinstead, C.M.; Snell, J.L. „Introduction to probability theory”. стр. 85. Архивирано из оригинала 27. 07. 2011. г. Приступљено 9. 12. 2007.