Риманова хипотеза

Реални део (у црвеној) и имагинарни део (у плавој боји) Риманове зета-функције на критичној линији Re(s) = 1/2. Првих неколико имагинарних нула се може видети за вредности Im(s) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011.

Риманова хипотеза је претпоставка о дистрибуцији нетривијалних нула Риманове зета-функције $\zeta (s)\,$ . Први пут је формулисана у раду Бернарда Римана из 1859: О броју простих бројева испод задате величине (нем. Über der Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe). Од тада, и поред огромних напора, овај проблем и даље остаје нерешен.

Риманова зета-функција је дефинисана за све комплексне бројеве s ≠ 1, и има тривијалне нуле у парним негативним целим бројевима (s = −2, s = −4, s = −6, ...). Риманова хипотеза каже да се све нетривијалне нуле налазе на једној правој у комплексној равни, конкретно:

Реални део било које нетривијалне нуле Риманове зета-функције је ½, односно све нетривијалне нуле се налазе на критичној линији ½ + it.

Историјат

Рад из 1859. је Риманов једини оглед у теорији бројева, али је хипотеза изнета у њему један од најзначајнијих нерешених проблема у савременој математици, пре свега зато што се доста важних резултата ослања на важење ове хипотезе (рецимо у криптографији, факторизацији целих бројева и полинома).

Легенда каже да се копија сакупљених Риманових радова у Хурвицовој (енгл. Adolf Hurwitz) библиотеци након његове смрти сама отварала на страни на којој се налазио исказ Риманове хипотезе.

Давид Хилберт је на Другом међународном конгресу математичара у Паризу, 8. августа 1900. године поставио проблем Риманове хипотезе као један од двадесеттри Хилбертова проблема (проблем број осам). За Хилберта је Риманова хипотеза имала посебан значај, када су га питали шта би најпре урадио након 500-годишњег сна, Хилберт је одговорио да би прво питао да ли је Риманова хипотеза доказана.

Годфри Харолд Харди (енгл. Godfrey Harold Hardy) је 1914. године доказао да се на критичној линији ½ + it налази бесконачно много нула.

Риманова хипотеза је један од седам Миленијумских проблема Математичког института Клеј.

Покушаји доказивања

Риманова хипотеза је као и Последња Фермаова теорема била инспирација за небројене покушаје доказивања, где су подједнако неуспешни били и врхунски и математичари аматери. Када је 1995. године енглески математичар Ендру Вајлс извео доказ Фермаове последње теореме - фокус математичке заједнице је преусмерен на Риманову хипотезу, најистакнутији нерешени проблем у математици данас. Овде су набројани значајни неуспешни покушаји у новом миленијуму.

Мати Питканен (Matti Pitkanen) у септембру 2001, повукао доказ због грешке у новембру исте године.^[1]

Карлос Кастро (Carlos Castro), и Хорге Махеха (Jorge Mahecha) су у серији радова од 2001. до 2006. године пробали да изграде теорију (користећи суперсиметрије и квантномеханички приступ) која би омогућила доказивање Риманове хипотезе. Њихов приступ је одбачен.^[2]

Каида Ши (Kaida Shi) у јулу 2003. године, доказ садржавао грешку.^[3]

Луј д'Бранж (Louis de Branges de Bourcia) у јулу 2004. године, нађен контрапример.^[4] Аутор је касније објавио Извињење за доказ Риманове Хипотезе.^[5]

Јинжу Хан (Jinzhu Han) у јуну 2007. године, доказ садржавао грешку.^[6]

Андреј Мадрецки (Andrzej Madrecki) у јулу 2007. године, доказ садржавао грешку.^[7]

Лев Аизенберг (Lev Aizenberg) у децембру 2007. године, повукао доказ због грешке у јануару 2008. године.^[8]

Ксиан-Јин Ли (Xian-Jin Li) у јулу 2008. године, неколико дана касније је повукао доказ због грешке (на страни 29).^[9]

Мајкл Атија је предложио доказ Риманове хипотезе 2018. године.^[10]

Потрага за нулама Риманове зета-функције

Дуго се веровало да је Риманова хипотеза резултат дубоке интуиције и осећаја за проблем. Карл Лудвиг Сигел (Carl Ludwig Siegel) је, међутим, у тридесетим годинама 20. века анализирајући Риманове рукописе пронашао рачун за првих неколико нула на критичној правој, на неколико децималних цифара тачности.

Риманова хипотеза је нумерички проверена за првих 10¹³ нула (за вредности t на критичној линији до 2,4·10¹²). Овај резултат су 2004. године добили Ксавијер Гордон (Xavier Gourdon) и Патрик Демишел (Patrick Demichel) користећи Одлизко-Шонаге (Odlyzko-Schönhage) алгоритам^[11] из 1988. године.

Све познате вредности t за нуле на критичној линији су по свему судећи ирационални бројеви.

Све познате нуле су првог реда. Иако постојење нула вишег реда не би оповргло Риманову хипотезу - изазвало би озбиљне проблеме за доста савремених рачунских техника.

Референце

^ „Мати Питканен (Matti Pitkanen), Корак ближе доказу Риманове хипотезе”. arXiv:math/0109072 . , Приступљено 24. 4. 2013.
^ „Карлос Кастро (Carlos Castro) и Хорге Махеха (Jorge Mahecha), Последњи кораци ка доказу Риманове хипотезе”. arXiv:hep-th/0208221 . , Приступљено 24. 4. 2013.
^ „Каида Ши (Kaida Shi), Геометријски доказ уопштене Риманове хипотезе”. arXiv:math/0308001 . , Приступљено 24. 4. 2013.
^ „Луј д'Бранж (Louis de Branges de Bourcia), Риманова зета-функција” (PDF). Приступљено 24. 4. 2013.
^ „Луј д'Бранж (Louis de Branges de Bourcia), Извињење за доказ Риманове хипотезе” (PDF). Приступљено 24. 4. 2013.
^ „Јинжу Хан (Jinzhu Han), Истраживање осмог Хилбертовог проблема”. arXiv:0706.1929 . , Приступљено 24. 4. 2013.
^ „Андреј Мадрецки (Andrzej Madrecki), Кратак доказ Риманове хипотезе преко Брауновог кретања”. arXiv:0707.4196 . , Приступљено 24. 4. 2013.
^ „Лев Аизенберг (Lev Aizenberg), Линделофова хипотеза је тачна док Риманова није”. arXiv:0801.0114 . , Приступљено 24. 4. 2013.
^ „Ксиан-Јин Ли (Xian-Jin Li), Доказ Риманове Хипотезе”. arXiv:0807.0090 . , Приступљено 24. 4. 2013.
^ Британац решио математички проблем стар 160 година („Политика”, 24. септембар 2018)
^ Odlyzko, A. M.; Schönhage, A. (1988). „Fast Algorithms for Multiple Evaluations of the Riemann Zeta Function”. Transactions of the American Mathematical Society. 309 (2): 797—809. JSTOR 2000939. doi:10.1090/S0002-9947-1988-0961614-2.

Литература

Artin, Emil (1924), „Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil”, Mathematische Zeitschrift, 19 (1): 207—246, doi:10.1007/BF01181075
Backlund, R. J. (1914), „Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann”, C. R. Acad. Sci. Paris, 158: 1979—1981
Beurling, Arne (1955), „A closure problem related to the Riemann zeta-function”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 41 (5): 312—314, Bibcode:1955PNAS...41..312B, MR 0070655, PMC 528084 , PMID 16589670, doi:10.1073/pnas.41.5.312
Bohr, H.; Landau, E. (1914), „Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L-Funktionen”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 37 (1): 269—272, doi:10.1007/BF03014823
Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis – official problem description (PDF), Clay Mathematics Institute, Архивирано из оригинала (PDF) 22. 12. 2015. г., Приступљено 2008-10-25 Reprinted in Borwein et al. 2008.
Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, ур. (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-0-387-72125-5, doi:10.1007/978-0-387-72126-2
Borwein, Peter; Ferguson, Ron; Mossinghoff, Michael J. (2008), „Sign changes in sums of the Liouville function”, Mathematics of Computation, 77 (263): 1681—1694, Bibcode:2008MaCom..77.1681B, MR 2398787, doi:10.1090/S0025-5718-08-02036-X 
de Branges, Louis (1992), „The convergence of Euler products”, Journal of Functional Analysis, 107 (1): 122—210, MR 1165869, doi:10.1016/0022-1236(92)90103-P 
Broughan, Kevin (2017), Equivalents of the Riemann Hypothesis, Cambridge University Press, ISBN 978-1108290784
Burton, David M. (2006), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited, ISBN 978-0-07-061607-3
Cartier, P. (1982), „Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée”, Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981), Progr. Math., 22, Boston, MA: Birkhäuser Boston, стр. 35—48, MR 693308
Connes, Alain (1999), „Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function”, Selecta Mathematica. New Series, 5 (1): 29—106, MR 1694895, arXiv:math/9811068 , doi:10.1007/s000290050042
Connes, Alain (2000), „Noncommutative geometry and the Riemann zeta function”, Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, стр. 35—54, MR 1754766
Connes, Alain (2016), „An Essay on the Riemann Hypothesis”, Ур.: Nash, J. F.; Rassias, Michael, Open Problems in Mathematics, New York: Springer, стр. 225—257, arXiv:1509.05576 , doi:10.1007/978-3-319-32162-2_5
Conrey, J. B. (1989), „More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line”, J. Reine Angew. Math., 1989 (399): 1—16, MR 1004130, doi:10.1515/crll.1989.399.1
Conrey, J. Brian (2003), „The Riemann Hypothesis” (PDF), Notices of the American Mathematical Society: 341—353 Reprinted in Borwein et al. 2008.
Conrey, J. B.; Li, Xian-Jin (2000), „A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions”, International Mathematics Research Notices, 2000 (18): 929—940, MR 1792282, arXiv:math/9812166 , doi:10.1155/S1073792800000489
Deligne, Pierre (1974), „La conjecture de Weil. I”, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 43: 273—307, MR 0340258, doi:10.1007/BF02684373
Deligne, Pierre (1980), „La conjecture de Weil : II”, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 52: 137—252, doi:10.1007/BF02684780
Deninger, Christopher (1998), „Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998), Documenta Mathematica, стр. 163—186, MR 1648030
Dudek, Adrian W. (2014-08-21), „On the Riemann hypothesis and the difference between primes”, International Journal of Number Theory, 11 (3): 771—778, Bibcode:2014arXiv1402.6417D, ISSN 1793-0421, arXiv:1402.6417 , doi:10.1142/S1793042115500426
Dyson, Freeman (2009), „Birds and frogs” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 56 (2): 212—223, MR 2483565
Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0, MR 0466039
Fesenko, Ivan (2010), „Analysis on arithmetic schemes. II”, Journal of K-theory, 5 (3): 437—557, doi:10.1017/is010004028jkt103
Ford, Kevin (2002), „Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function”, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 85 (3): 565—633, MR 1936814, arXiv:1910.08209 , doi:10.1112/S0024611502013655
Franel, J.; Landau, E. (1924), „Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206)”, Göttinger Nachrichten: 198—206
Ghosh, Amit (1983), „On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of |S(T)|”, J. Number Theory, 17: 93—102, doi:10.1016/0022-314X(83)90010-0 
Gourdon, Xavier (2004), The 10¹³ first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height (PDF)
Gram, J. P. (1903), „Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann” (PDF), Acta Mathematica, 27: 289—304, doi:10.1007/BF02421310
Hadamard, Jacques (1896), „Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques”, Bulletin de la Société Mathématique de France, 14: 199—220, doi:10.24033/bsmf.545  Reprinted in Borwein et al. 2008.
Hardy, G. H. (1914), „Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann”, C. R. Acad. Sci. Paris, 158: 1012—1014, JFM 45.0716.04 Reprinted in Borwein et al. 2008.
Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1921), „The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line”, Math. Z., 10 (3–4): 283—317, doi:10.1007/BF01211614
Haselgrove, C. B. (1958), „A disproof of a conjecture of Pólya”, Mathematika, 5 (2): 141—145, ISSN 0025-5793, MR 0104638, Zbl 0085.27102, doi:10.1112/S0025579300001480 Reprinted in Borwein et al. 2008.
Haselgrove, C. B.; Miller, J. C. P. (1960), Tables of the Riemann zeta function, Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06152-0, MR 0117905 Review
Hutchinson, J. I. (1925), „On the Roots of the Riemann Zeta-Function”, Transactions of the American Mathematical Society, 27 (1): 49—60, JSTOR 1989163, doi:10.2307/1989163 
Ingham, A.E. (1932), The Distribution of Prime Numbers, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 30, Cambridge University Press . Reprinted (1990) ISBN 978-0-521-39789-6, MR 1074573
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X
Ivić, A. (1985), The Riemann Zeta Function, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80634-9, MR 0792089 (Reprinted by Dover 2003)
Ivić, Aleksandar (2008), „On some reasons for doubting the Riemann hypothesis”, Ур.: Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, стр. 131—160, ISBN 978-0-387-72125-5, arXiv:math.NT/0311162 
Karatsuba, A. A. (1984a), „Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line”, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (на језику: руски), 48 (3): 569—584, MR 0747251
Karatsuba, A. A. (1984b), „Distribution of zeros of the function ζ(1/2 + it)”, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (на језику: руски), 48 (6): 1214—1224, MR 0772113
Karatsuba, A. A. (1985), „Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line”, Trudy Mat. Inst. Steklov. (на језику: руски) (167): 167—178, MR 0804073
Karatsuba, A. A. (1992), „On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line”, Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. (на језику: руски), 56 (2): 372—397, Bibcode:1993IzMat..40..353K, MR 1180378, doi:10.1070/IM1993v040n02ABEH002168
Karatsuba, A. A.; Voronin, S. M. (1992), The Riemann zeta-function, de Gruyter Expositions in Mathematics, 5, Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-013170-3, MR 1183467, doi:10.1515/9783110886146
Keating, Jonathan P.; Snaith, N. C. (2000), „Random matrix theory and ζ(1/2 + it)”, Communications in Mathematical Physics, 214 (1): 57—89, Bibcode:2000CMaPh.214...57K, MR 1794265, doi:10.1007/s002200000261
Knauf, Andreas (1999), „Number theory, dynamical systems and statistical mechanics”, Reviews in Mathematical Physics. A Journal for Both Review and Original Research Papers in the Field of Mathematical Physics, 11 (8): 1027—1060, Bibcode:1999RvMaP..11.1027K, MR 1714352, doi:10.1142/S0129055X99000325
von Koch, Niels Helge (1901), „Sur la distribution des nombres premiers”, Acta Mathematica, 24: 159—182, doi:10.1007/BF02403071
Kurokawa, Nobushige (1992), „Multiple zeta functions: an example”, Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990), Adv. Stud. Pure Math., 21, Tokyo: Kinokuniya, стр. 219—226, MR 1210791
Lapidus, Michel L. (2008), In search of the Riemann zeros, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4222-5, MR 2375028, doi:10.1090/mbk/051
Шаблон:Eom
Lehmer, D. H. (1956), „Extended computation of the Riemann zeta-function”, Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics, 3 (2): 102—108, MR 0086083, doi:10.1112/S0025579300001753
Leichtnam, Eric (2005), „An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions”, Geometry, spectral theory, groups, and dynamics, Contemp. Math., 387, Providence, RI: Amer. Math. Soc., стр. 201—236, MR 2180209, doi:10.1090/conm/387/07243 .
Levinson, N. (1974), „More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2”, Adv. Math., 13 (4): 383—436, MR 0564081, doi:10.1016/0001-8708(74)90074-7
Littlewood, J. E. (1962), „The Riemann hypothesis”, The scientist speculates: an anthology of partly baked idea, New York: Basic books
van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; Winter, D. T. (1986), „On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV”, Mathematics of Computation, 46 (174): 667—681, JSTOR 2008005, MR 829637, doi:10.2307/2008005 
Massias, J.-P.; Nicolas, Jean-Louis; Robin, G. (1988), „Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique”, Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica, 50 (3): 221—242, MR 960551, doi:10.4064/aa-50-3-221-242 
Mazur, Barry; Stein, William (2015), Prime Numbers and the Riemann Hypothesis
Montgomery, Hugh L. (1973), „The pair correlation of zeros of the zeta function”, Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, стр. 181—193, MR 0337821 Reprinted in Borwein et al. 2008.
Montgomery, Hugh L. (1983), „Zeros of approximations to the zeta function”, Ур.: Erdős, Paul, Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, стр. 497—506, ISBN 978-3-7643-1288-6, MR 820245
Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007), Multiplicative Number Theory I. Classical Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, 97, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-84903-6
Nicely, Thomas R. (1999), „New maximal prime gaps and first occurrences”, Mathematics of Computation, 68 (227): 1311—1315, Bibcode:1999MaCom..68.1311N, MR 1627813, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0 , Архивирано из оригинала 30. 12. 2014. г., Приступљено 25. 07. 2020 .
Nyman, Bertil (1950), On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces, PhD Thesis, University of Uppsala: University of Uppsala, MR 0036444
Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), „Disproof of the Mertens conjecture”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985 (357): 138—160, MR 783538, doi:10.1515/crll.1985.357.138, Архивирано из оригинала 2012-07-11. г.
Odlyzko, A. M. (1987), „On the distribution of spacings between zeros of the zeta function”, Mathematics of Computation, 48 (177): 273—308, JSTOR 2007890, MR 866115, doi:10.2307/2007890 
Odlyzko, A. M. (1990), „Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results”, Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Série 2, 2 (1): 119—141, MR 1061762, doi:10.5802/jtnb.22 
Odlyzko, A. M. (1992), The 10²⁰-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors (PDF) This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
Odlyzko, A. M. (1998), The 10²¹st zero of the Riemann zeta function (PDF)
Ono, Ken; Soundararajan, K. (1997), „Ramanujan's ternary quadratic form”, Inventiones Mathematicae, 130 (3): 415—454, Bibcode:1997InMat.130..415O, doi:10.1007/s002220050191
Patterson, S. J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 14, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33535-5, MR 933558, doi:10.1017/CBO9780511623707
Platt, David; Trudgian, Tim (2020), The Riemann hypothesis is true up to $3\cdot 10^{12}$ , arXiv:2004.09765v1 
Radziejewski, Maciej (2007), „Independence of Hecke zeta functions of finite order over normal fields”, Transactions of the American Mathematical Society, 359 (5): 2383—2394, MR 2276625, doi:10.1090/S0002-9947-06-04078-5 , „There are infinitely many nonisomorphic algebraic number fields whose Dedekind zeta functions have infinitely many nontrivial multiple zeros.”
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
Riemann, Bernhard (1859), „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”, Monatsberichte der Berliner Akademie . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript (with English translation). Reprinted in Borwein et al. 2008 and Edwards 1974
Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970), „Some calculations related to Riemann's prime number formula”, Mathematics of Computation, 24 (112): 969—983, JSTOR 2004630, MR 0277489, doi:10.2307/2004630
Riesz, M. (1916), „Sur l'hypothèse de Riemann”, Acta Mathematica, 40: 185—190, doi:10.1007/BF02418544 
Robin, G. (1984), „Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 63 (2): 187—213, MR 774171
Rosser, J. Barkley; Yohe, J. M.; Schoenfeld, Lowell (1969), „Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion)”, Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software, Amsterdam: North-Holland, стр. 70—76, MR 0258245
Rudin, Walter (1973), Functional Analysis, 1st edition (January 1973), New York: McGraw-Hill, ISBN 0-070-54225-2
Salem, Raphaël (1953), „Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann”, Les Comptes rendus de l'Académie des sciences, 236: 1127—1128, MR 0053148
Sarnak, Peter (2005), Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis (2004) (PDF), Clay Mathematics Institute, Приступљено 2015-07-28 Reprinted in Borwein et al. 2008.
Schoenfeld, Lowell (1976), „Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II”, Mathematics of Computation, 30 (134): 337—360, JSTOR 2005976, MR 0457374, doi:10.2307/2005976
Schumayer, Daniel; Hutchinson, David A. W. (2011), „Physics of the Riemann Hypothesis”, Reviews of Modern Physics, 83 (2): 307—330, Bibcode:2011RvMP...83..307S, arXiv:1101.3116 , doi:10.1103/RevModPhys.83.307
Selberg, Atle (1942), „On the zeros of Riemann's zeta-function”, SKR. Norske Vid. Akad. Oslo I., 10: 59 pp, MR 0010712
Selberg, Atle (1946), „Contributions to the theory of the Riemann zeta-function”, Arch. Math. Naturvid., 48 (5): 89—155, MR 0020594
Selberg, Atle (1956), „Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series”, J. Indian Math. Soc. (N.S.), 20: 47—87, MR 0088511
Serre, Jean-Pierre (1969—1970), „Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)”, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 19
Sheats, Jeffrey T. (1998), „The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for F_q[T]”, Journal of Number Theory, 71 (1): 121—157, MR 1630979, arXiv:math/9801158 , doi:10.1006/jnth.1998.2232
Siegel, C. L. (1932), „Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie”, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. Und Phys. Abt. B: Studien 2: 45—80 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
Speiser, Andreas (1934), „Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion”, Mathematische Annalen, 110: 514—521, JFM 60.0272.04, doi:10.1007/BF01448042, Архивирано из оригинала 2015-06-27. г.
Spira, Robert (1968), „Zeros of sections of the zeta function. II”, Mathematics of Computation, 22 (101): 163—173, JSTOR 2004774, MR 0228456, doi:10.2307/2004774 
Stein, William; Mazur, Barry (2007), What is Riemann's Hypothesis? (PDF), Архивирано из оригинала (PDF) 2009-03-27. г.
Suzuki, Masatoshi (2011), „Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces”, Journal of Number Theory, 131 (10): 1770—1796, doi:10.1016/j.jnt.2011.03.007 
Titchmarsh, Edward Charles (1935), „The Zeros of the Riemann Zeta-Function”, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, The Royal Society, 151 (873): 234—255, Bibcode:1935RSPSA.151..234T, JSTOR 96545, doi:10.1098/rspa.1935.0146 
Titchmarsh, Edward Charles (1936), „The Zeros of the Riemann Zeta-Function”, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, The Royal Society, 157 (891): 261—263, Bibcode:1936RSPSA.157..261T, JSTOR 96692, doi:10.1098/rspa.1936.0192 
Titchmarsh, Edward Charles (1986), The theory of the Riemann zeta-function (2nd изд.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6, MR 882550
Trudgian, Timothy (2011), „On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule”, Acta Arithmetica, 125 (3): 225—256, doi:10.4064/aa148-3-2
Turán, Paul (1948), „On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann”, Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 24 (17): 36, MR 0027305 Reprinted in Borwein et al. 2008.
Turing, Alan M. (1953), „Some calculations of the Riemann zeta-function”, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 3: 99—117, MR 0055785, doi:10.1112/plms/s3-3.1.99
de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1896), „Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers”, Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 20: 183—256
de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1899—1900), „Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée”, Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg., 59 (1) Reprinted in Borwein et al. 2008.
Weil, André (1948), Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945), Hermann et Cie., Paris, MR 0027151
Weil, André (1949), „Numbers of solutions of equations in finite fields”, Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (5): 497—508, MR 0029393, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4  Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
Weinberger, Peter J. (1973), „On Euclidean rings of algebraic integers”, Analytic number theory ( St. Louis Univ., 1972), Proc. Sympos. Pure Math., 24, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., стр. 321—332, MR 0337902
Wiles, Andrew (2000), „Twenty years of number theory”, Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, стр. 329—342, ISBN 978-0-8218-2697-3, MR 1754786
Zagier, Don (1977), „The first 50 million prime numbers” (PDF), Math. Intelligencer, Springer, 0: 7—19, MR 643810, doi:10.1007/BF03039306, Архивирано из оригинала (PDF) 2009-03-27. г.
Zagier, Don (1981), „Eisenstein series and the Riemann zeta function”, Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979), Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., 10, Tata Inst. Fundamental Res., Bombay, стр. 275—301, MR 633666
Sabbagh, Karl (2003a), The greatest unsolved problem in mathematics, Farrar, Straus and Giroux, New York, ISBN 978-0-374-25007-2, MR 1979664
Sabbagh, Karl (2003b), Dr. Riemann's zeros, Atlantic Books, London, ISBN 978-1-843-54101-1
du Sautoy, Marcus (2003), The music of the primes, HarperCollins Publishers, ISBN 978-0-06-621070-4, MR 2060134
Rockmore, Dan (2005), Stalking the Riemann hypothesis, Pantheon Books, ISBN 978-0-375-42136-5, MR 2269393
Derbyshire, John (2003), Prime Obsession, Joseph Henry Press, Washington, DC, ISBN 978-0-309-08549-6, MR 1968857
Watkins, Matthew (2015), Mystery of the Prime Numbers, Liberalis Books, ISBN 978-1782797814, MR 0000000
Frenkel, Edward (2014), The Riemann Hypothesis Numberphile, Mar 11, 2014 (video)