Хилбертови проблеми

Хилбертови проблеми, то су 23 проблема, од којих је тринаест поставио математичар Давид Хилберт да би на Другом међународном конгресу математичара у Паризу, 8. августа 1900. године било додато још десет, овде број 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, и 22. Неки од ових проблема су заправо подручја за истраживање, а заједно са осталима били су пример нарастања читавих дисциплина, временом, из малих „проблема“. Потпуна листа од 23 проблема објављена је касније, посебно у преводу на енглески из 1902. године од стране Мери Френсис Винстон Њусон у Bulletin of the American Mathematical Society.^[1]

Игнорабимус

Пратећи Готлоба Фрегеа и Бертранда Расела, Хилберт је покушао да дефинише математику логички користећи метод формалних система, тј. финитистичке доказе из договореног скупа аксиома.^[2] Један од главних циљева Хилбертовог програма био је финитистички доказ конзистентности аксиома аритметике: то је његов други проблем.^[а]

Међутим, Геделова друга теорема о непотпуности даје прецизан смисао у коме је такав финитистички доказ конзистентности аритметике доказиво немогућ. Хилберт је живео 12 година након што је Курт Гедел објавио своју теорему, али изгледа да није написао никакав формални одговор на Геделов рад.^[б]^[в]

Хилбертов десети проблем не поставља питање да ли постоји алгоритам за одлучивање о решивости Диофантских једначина, већ тражи конструкцију таквог алгоритма: „да се осмисли процес према којем се у коначном броју операција може одредити да ли је једначина решива у рационалним целим бројевима“. То што је овај проблем решен показивањем да не може постојати такав алгоритам противречи Хилбертовој филозофији математике.

Расправљајући о свом мишљењу да сваки математички проблем треба да има решење, Хилберт допушта могућност да би решење могло бити доказ да је оригинални проблем немогућ.^[г] Он је навео да је поента знати на овај или онај начин шта је то решење, и веровао је да се то увек може знати, да у математици не постоји „игнорабимус“ (тврдња чија се истина никада не може сазнати).^[д] Остаје нејасно да ли би он сматрао решење десетог проблема као пример игнорабимуса: оно што је доказано да не постоји није целобројно решење, већ (у извесном смислу) способност да се на специфичан начин разазна да ли решење постоји.

С друге стране, статус првог и другог задатка је још компликованији: не постоји јасан математички консензус о томе да ли су резултати Гедела (у случају другог задатка), или Геделовог и Кохеновог (у случају првог проблема) дају дефинитивна негативна решења или не, јер се та решења односе на извесну формализацију проблема, која није нужно једина могућа.^[ђ]

Двадесет четврти проблем

Хилберт је првобитно укључио 24 проблема на своју листу, али је одлучио да не укључи један од њих на објављену листу. „24. проблем“ (у теорији доказа, о критеријуму једноставности и општим методама) поново је открио немачки историчар Ридигер Тиле 2000. године у Хилбертовим оригиналним белешкама у рукопису.^[5]

Проблеми

Канторов проблем кардиналног броја континуума.^[6]
Конзистентност аксиома аритметике.
Једнакост запремина два тетраедра једнаких база и висина.
Проблем праве линије као најкраћег растојања између две тачке.
Концепт Лијевих група непрекидних трансформација, без претпоставке диференцијабилности.
Математички третман аксиома физике. Може ли се физика аксиоматизовати?^[7]^[8]
Ирационалност и трансцендентност извесних бројева, oblika $a^{b}$ , нпр. $2^{\sqrt {2}}$ ,; $e^{\pi }$ .
Проблем простих бројева, Риманова хипотеза.
Општи доказ теорема реципрочности теорије бројева.
Опште решење Диофантове једначине.

Квадратна форма произвољног целобројног алгебарског поља.^[9]
Кронекерова теорема, конструкција холоморфне функције.^[10]
Немогућност решења опште једначине 7-ог степена функцијама са само два аргумента.^[11]^[12]^[13]^[14]
Проблем коначности извесних функција.
Строго заснивање Шубертовог непребројивог рачуна (Schubert).
Проблем топологије алгебарских кривих и површи.
Репрезентација кончане форме квадрата.
Изградња простора из конгруентног полиедра.
Јесу ли решења проблема варијација увек аналитичка?
Општи проблем граничне вредности.

Доказ егзистенције решења линеарне диференцијалне једначине за монодромску групу.
Униформизација аналитичких релација помоћу аутоморфних функција.
Даљи развој метода рачуна варијација.

Напомене

^ See Nagel and Newman revised by Hofstadter (2001, p. 107),^[3] footnote 37: "Moreover, although most specialists in mathematical logic do not question the cogency of [Gentzen's] proof, it is not finitistic in the sense of Hilbert's original stipulations for an absolute proof of consistency." Also see next page: "But these proofs [Gentzen's et al.] cannot be mirrored inside the systems that they concern, and, since they are not finitistic, they do not achieve the proclaimed objectives of Hilbert's original program." Hofstadter rewrote the original (1958) footnote slightly, changing the word "students" to "specialists in mathematical logic". And this point is discussed again on page 109^[3] and was not modified there by Hofstadter (p. 108).^[3]
^ Reid reports that upon hearing about "Gödel's work from Bernays, he was 'somewhat angry'. ... At first he was only angry and frustrated, but then he began to try to deal constructively with the problem. ... It was not yet clear just what influence Gödel's work would ultimately have" (p. 198–199).^[4] Reid notes that in two papers in 1931 Hilbert proposed a different form of induction called "unendliche Induktion" (p. 199).^[4]
^ Reid's biography of Hilbert, written during the 1960s from interviews and letters, reports that "Godel (who never had any correspondence with Hilbert) feels that Hilbert's scheme for the foundations of mathematics 'remains highly interesting and important in spite of my negative results' (p. 217). Observe the use of present tense – she reports that Gödel and Bernays among others "answered my questions about Hilbert's work in logic and foundations" (p. vii).^[4]
^ This issue that finds its beginnings in the "foundational crisis" of the early 20th century, in particular the controversy about under what circumstances could the Law of Excluded Middle be employed in proofs. See much more at Brouwer–Hilbert controversy.
^ "This conviction of the solvability of every mathematical problem is a powerful incentive to the worker. We hear within us the perpetual call: There is the problem. Seek its solution. You can find it by pure reason, for in mathematics there is no ignorabimus." (Hilbert, 1902, p. 445.)
^ Nagel, Newman and Hofstadter discuss this issue: "The possibility of constructing a finitistic absolute proof of consistency for a formal system such as Principia Mathematica is not excluded by Gödel's results. ... His argument does not eliminate the possibility ... But no one today appears to have a clear idea of what a finitistic proof would be like that is not capable of being mirrored inside Principia Mathematica (footnote 39, page 109). The authors conclude that the prospect "is most unlikely."^[3]

Референце

^ Hilbert, David (1902). „Mathematical Problems”. Bulletin of the American Mathematical Society. 8 (10): 437—479. doi:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . Earlier publications (in the original German) appeared in Hilbert, David (1900). „Mathematische Probleme”. Göttinger Nachrichten: 253—297. and Hilbert, David (1901). „[no title cited]”. Archiv der Mathematik und Physik. 3. 1: 44—63, 213—237.
^ van Heijenoort, Jean, ур. (1976) [1966]. From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879–1931 ((pbk.) изд.). Cambridge MA: Harvard University Press. стр. 464ff. ISBN 978-0-674-32449-7.
A reliable source of Hilbert's axiomatic system, his comments on them and on the foundational "crisis" that was on-going at the time (translated into English), appears as Hilbert's 'The Foundations of Mathematics' (1927).
^ ^а ^б ^в ^г Nagel, Ernest; Newman, James R. (2001). Hofstadter, Douglas R., ур. Gödel's Proof. New York, NY: New York University Press. ISBN 978-0-8147-5816-8.
^ ^а ^б ^в Reid, Constance (1996). Hilbert. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0387946740.
^ Thiele, Rüdiger (јануар 2003). „Hilbert's twenty-fourth problem” (PDF). American Mathematical Monthly. 110: 1—24. S2CID 123061382. doi:10.1080/00029890.2003.11919933.
^ Cantor, Georg (1878). „Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre”. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1878 (84): 242—258. doi:10.1515/crll.1878.84.242.
^ Corry, L. (1997). „David Hilbert and the axiomatization of physics (1894–1905)”. Arch. Hist. Exact Sci. 51 (2): 83—198. S2CID 122709777. doi:10.1007/BF00375141.
^ Gorban, A.N.; Karlin, I. (2014). „Hilbert's 6th Problem: Exact and approximate hydrodynamic manifolds for kinetic equations”. Bulletin of the American Mathematical Society. 51 (2): 186—246. arXiv:1310.0406 . doi:10.1090/S0273-0979-2013-01439-3 .
^ Hazewinkel, Michiel (2009). Handbook of Algebra. 6. Elsevier. стр. 69. ISBN 978-0080932811.
^ Houston-Edwards, Kelsey. „Mathematicians Find Long-Sought Building Blocks for Special Polynomials”.
^ Abhyankar, Shreeram S. „Hilbert's Thirteenth Problem” (PDF).
^ Vitushkin, A.G. „On Hilbert's thirteenth problem and related questions” (PDF).
^ Chebotarev, N.G., On certain questions of the problem of resolvents
^ Hilbert, David (1927). „Über die Gleichung neunten Grades”. Math. Ann. 97: 243—250. S2CID 179178089. doi:10.1007/BF01447867.

Литература

Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford, UK: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850651-5.
Yandell, Benjamin H. (2002). The Honors Class: Hilbert's problems and their solvers. Wellesley, MA: A.K. Peters. ISBN 978-1-56881-141-3.
Thiele, Rüdiger (2005). „On Hilbert and his twenty-four problems”. Ур.: Van Brummelen, Glen. Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May lectures. CMS Books in Mathematics / Ouvrages de Mathématiques de la SMC. 21. стр. 243—295. ISBN 978-0-387-25284-1.
Dawson, John W. Jr. (1997). Logical Dilemmas: The life and work of Kurt Gödel. A.K. Peters.
A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and Gödel's impact on the Second Question, the impact of Arend Heyting's and Brouwer's Intuitionism on Hilbert's philosophy.
Browder, Felix E., ур. (1976). „Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems”. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII. American Mathematical Society.
A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
Matiyasevich, Yuri (1993). Hilbert's Tenth Problem. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 978-0262132954.
An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem.
Cohen, Paul Joseph (2008). Set theory and the continuum hypothesis. Mineola, New York City: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8.
Dales, H.G.; Woodin, W.H. (1987). An Introduction to Independence for Analysts. Cambridge.
Enderton, Herbert (1977). Elements of Set Theory. Academic Press.
Gödel, K.: What is Cantor's Continuum Problem?, reprinted in Benacerraf and Putnam's collection Philosophy of Mathematics, 2nd ed., Cambridge University Press, 1983. An outline of Gödel's arguments against CH.
Martin, D. (1976). "Hilbert's first problem: the continuum hypothesis," in Mathematical Developments Arising from Hilbert's Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, editor. American Mathematical Society, 1976, pp. 81–92. ISBN 0-8218-1428-1
McGough, Nancy. „The Continuum Hypothesis”.
Wolchover, Natalie (15. 7. 2021). „How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer”.