Теорија категорија

Теорија категорија се користи да формализује математику и њене концепте као колекције објеката и стрелица (морфизама).^[1] Теорија категорија може да се користи да формализује већ постојеће теорије на вишем нивоу апстракције као што су теорија скупова, теорија прстена и теорија група. Неколико термина који се користе у теорији категорија, укључујући термин "морфизам", има различито значење у осталим областима математике.

Објекти заједнице су дати објектима који су врхови графа, а њихови односи су означени усмереним бридовима, који се називају стрелицама или морфизмима. Свака категорија по дефиницији уз објекте и њихове усмерене односа представљене морфизмима имају задато асоцијативно пресликавање композиције оних парова стрелица које графички следе у низу (крај једне је почетак друге) и за сваки објект је изабрана посебна стрелица идентитета, којој је и почетак и крај на том објекту. На пример, категоријама се може формализовати заједница свих скупова и њихових пресликавања као односа, заједницу свих прстенова и њихових (хомо)морфизама и заједницу свих група и (хомо)морфизама група. У тим примерима се види да заједница може бити велика, тј. да чини класу у смислу теорије скупова.

Неколика термина кориштених у теорији категорија, укључујући термин „морфизам” се користе другачије него у специјализованим ситуацијама у математици. У теорији категорија, морфизми морају испуњавати само опште аксиоме из теорије категорија, а не специфичне аксиоме који се захтевају у неком другом контексту. Дакле, тај концепт је унутрашњи у заданој категорији.

Саундерс Маклејн и Самјуел Ејленберг су увели концепте категорија, функтора и природних трансформација у 1942-45 у њиховом проучавању алгебарске топологије, са циљем аксиоматизације појма природности и још неких својстава која су се понављала у више контекста.

Категорија теорија има практичну примену у теорији програмских језика, нпр. формализације семантике програмских језика и кориштење монада у функцијском програмирању. Аксиоматски приступ структури категорије (елементарна теорија категорија) није зависан од аксиоматике скупова и може се изучавати као један од алтернативних приступа темељима математике (уз теорију скупова, разне теорије типова итд).

Категорије

Категорија C се састоји од следећа три ентитета:

Класе ob(C), чије елементе зовемо објекти;
Класе hom(C), чије елементе зовемо морфизми или пресликавања или стрелице. Сваки морфизам f има свој домен a и кодомен b.

Израз f : a → b, се чита као "f је морфизам из a у b".
Израз hom(a, b) — користе се и ознаке hom_C(a, b), mor(a, b), или C(a, b) — означава класу свих морфизама изa у b.

Бинарне операције ∘, коју називамо композиција морфизама, тако да за било која три објекта a, b, и c, важи hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). Композицију f : a → b и g : b → c записујемо g ∘ f или gf, регулисана са две аксиоме:
- Асоцијативност: Ако f : a → b, g : b → c и h : c → d онда је h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, и
- Идентитет (математика): За сваки објект x, постоји морфизам 1_x : x → x звани идентички морфизам x, тако да за сваки морфизам f : a → b, важи 1_b ∘ f = f = f ∘ 1_a.

Из аксиома се може доказати да постоји тачно један идентички морфизам за сваки објект. Неки аутори одступају од ове дефиниције идентификујући сваки објект са његовим идентичким морфизмом.

Односи међу морфизмима и типови морфизама

Релације између морфизама (попут fg = h) често се приказују графички помоћу комутативних дијаграма, са „тачкама” (врховима) представљајући објекте и „стрелицама” представљајући морфизме. Комутативност дијаграма означава да композиција свих морфизама уздуж било која два усмерена пута с међусобно истим почетком и међусобно истим крајем има исти резултат (не yависи од пута).

Морфизми могу имати било која од седећих својстава. Морфизам f : a → b је:

мономорфизам (генерализирајући појам инјекције у категорији скупова) ако f ∘ g₁ = f ∘ g₂ повлачи g₁ = g₂ за све морфизме g₁, g₂ : x → a.
епиморфизам (генерализирајући појам сурјекције у категорији скупова) ако g₁ ∘ f = g₂ ∘ f повлачи g₁ = g₂ за све морфизме g₁, g₂ : b → x.
биморфизам ако је f истовремено мономорфизам и епиморфизам.
изоморфизам ако постоји морфизам g : b → a такав да је f ∘ g = 1_b and g ∘ f = 1_a.
ендоморфизам ако је домен уједно и кодомен, a = b. end(a) означава класу ендоморфизама од a.
аутоморфизам ако f је изоморфизам с истом доменом и кодоменом. aut(a) означава класу ендоморфизама од a.
ретракција (сажимање) ако десна инверзија од f постоји, т.ј. ако постоји морфизам g : b → a такав да f ∘ g = 1_b.^[2]
пререз (секција) ако лева инверзија од f постоји, т.ј. ако постоји морфизам g : b → a такав да g ∘ f = 1_a.

За категорију се каже да је балансирана ако је сваки биморфизам изоморфизам. На пример, све су Абелове категорије балансиране.

Свака ретракција је епиморфизам, и сваку пререз је мономорфизам. Надаље, следеће три тврдње су еквивалентне:

f је мономорфизам и ретракција;
f је епиморфизам и пререз;
f је изоморфизам.

Супротна категорија

Свакој категорији $C$ може се придружити супротна категорија $C^{\circ }$ која има исте објекте и морфизме, но морфизми иду у супротни смер. Тако за сваки објект $x$ има своју супротну копију $x^{\circ }$ , а за морфизам $f:x\to y$ његову супротну копију $f^{\circ }:y^{\circ }\to x^{\circ }$ са замењеном доменом и кодоменом; при томе је композиција дефинисана с $g^{\circ }\circ f^{\circ }:=(f\circ g)^{\circ }$ , а идентитет с $1_{x^{\circ }}:=(1_{x})^{\circ }:x^{\circ }\to x^{\circ }$ . Супротна категорија се назива такође двојствена или дуална категорија категорије $C$ .

Види још

Референце

^ Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides. 49 (2nd изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.
^ Mac Lane (1978, pp. 19).

Литература

Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides. 49 (2nd изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.
Awodey, Steve (2006). Category Theory. Oxford Logic Guides. 49. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-151382-4.
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories. Heldermann Verlag Berlin. Архивирано из оригинала 24. 02. 2021. г. Приступљено 25. 04. 2021.
Barr, Michael; Wells, Charles (2012) [1995], Category Theory for Computing Science, Reprints in Theory and Applications of Categories, 22 (3rd изд.) .
Barr, Michael; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories, Reprints in Theory and Applications of Categories, 12, MR 2178101 .
Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. стр. 50—52. ISBN 9780521441780.
Freyd, Peter J. (2003) [1964]. Abelian Categories. Reprints in Theory and Applications of Categories. 3.
Freyd, Peter J.; Scedrov, Andre (1990). Categories, allegories. North Holland Mathematical Library. 39. North Holland. ISBN 978-0-08-088701-2.
Goldblatt, Robert (2006) [1979]. Topoi: The Categorial Analysis of Logic. Studies in logic and the foundations of mathematics. 94. Dover. ISBN 978-0-486-45026-1.
Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007). Category Theory (3rd изд.). Heldermann Verlag Berlin. ISBN 978-3-88538-001-6. .
Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). Categories and Sheaves. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 332. Springer. ISBN 978-3-540-27949-5.
Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Sets for Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3.
Lawvere, F. William; Schanuel, Stephen Hoel (2009) [1997]. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories (2nd изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89485-2.
Leinster, Tom (2004). Higher Operads, Higher Categories. Higher Operads. London Math. Society Lecture Note Series. 298. Cambridge University Press. стр. 448. Bibcode:2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0. Архивирано из оригинала 2003-10-25. г. Приступљено 2006-04-03.
Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 143. Cambridge University Press. ISBN 9781107044241. arXiv:1612.09375 .
Lurie, Jacob (2009). Higher Topos Theory. Annals of Mathematics Studies. 170. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14049-0. MR 2522659. arXiv:math.CT/0608040 .
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98403-2. MR 1712872.
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (2nd изд.). Chelsea. ISBN 978-0-8218-1646-2.
Martini, A.; Ehrig, H.; Nunes, D. (1996). „Elements of basic category theory”. Technical Report. 96 (5).
May, Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-51183-2.
Mazzola, Guerino (2002). The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3.
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ур. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83414-8. Zbl 1034.18001.
Pierce, Benjamin C. (1991). Basic Category Theory for Computer Scientists. MIT Press. ISBN 978-0-262-66071-6.
Schalk, A.; Simmons, H. (2005). An introduction to Category Theory in four easy movements (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 2017-03-21. г. Приступљено 2007-12-03. Notes for a course offered as part of the MSc. in Mathematical Logic, Manchester University.
Simpson, Carlos (2010). Homotopy theory of higher categories. Bibcode:2010arXiv1001.4071S. arXiv:1001.4071 . , draft of a book.
Taylor, Paul (1999). Practical Foundations of Mathematics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 59. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63107-5.
Turi, Daniele (1996—2001). „Category Theory Lecture Notes” (PDF). Приступљено 11. 12. 2009. Based on Mac Lane 1998.
Marquis, Jean-Pierre (2008). From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Springer. ISBN 978-1-4020-9384-5.

Спољашње везе

Theory and Application of Categories, an electronic journal of category theory, full text, free, since 1995.
nLab, a wiki project on mathematics, physics and philosophy with emphasis on the n-categorical point of view.
The n-Category Café, essentially a colloquium on topics in category theory.
Category Theory, a web page of links to lecture notes and freely available books on category theory.
Hillman, Chris, A Categorical Primer, CiteSeerX 10.1.1.24.3264  , a formal introduction to category theory.
Adamek, J.; Herrlich, H.; Stecker, G. „Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 21. 04. 2015. г. Приступљено 25. 04. 2021.
"Category Theory" entry by Jean-Pierre Marquis in the Stanford Encyclopedia of Philosophy, with an extensive bibliography.
List of academic conferences on category theory
Baez, John (1996). „The Tale of n-categories”. — An informal introduction to higher order categories.
WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
The catsters на веб-сајту YouTube, a channel about category theory.
Category theory at PlanetMath.org..
Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.
Category Theory for the Sciences, an instruction on category theory as a tool throughout the sciences.
Category Theory for Programmers A book in blog form explaining category theory for computer programmers.
Introduction to category theory.