Хелмхолцова једначина

Хелмхолцова једначина је елиптична парцијална диференцијална једначина:

${\displaystyle (\Delta +k^{2})U=0}$

где ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ представља Лапласов оператор, ${\displaystyle k}$ је таласни број, а ${\displaystyle U}$ амплитуда. Нехомогена Хелмхолцова једначина је облика:

${\displaystyle (\Delta +k^{2})U=f}$

Може се приметити да у Хелмхолцовој једначини нема оператора који представљају изводе по времену. Хелмхолцова једначина може да се добије из таласне једначине:

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$ (1)

Претпоставља се да се таласна функција даде решити сепарацијом променљивих по простору и времену:

${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}$ (2)

Уврштавајући (2) у (1) добијамо следећу једначину:

${\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}={1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}.}$ (3)

Лева страна једначине (3) зависи само од просторних координата, а десна страна од времена. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине:

${\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}=-k^{2}}$ (4)

и

${\displaystyle {1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}=-k^{2}}$ (5)

Преуређујући једначину (4) добијамо:

${\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}$ (6)

а преуређујући једначину (5) уз помоћ супституције ${\displaystyle \omega {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}kc}$ добија се:

${\displaystyle {\frac {d^{2}{T}}{d{t}^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({d^{2} \over dt^{2}}+\omega ^{2}\right)T=0,}$

При томе k је таласни вектор, а ω је угаона фреквенција.

За Хелмхолцову једначину:

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=0}$ (7)

Лапласијан се у поларним координатама пише као:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta A&={1 \over r}{\partial \over \partial A}\left(r{\partial A \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}&={1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}.\end{aligned}}}$

Због тога једначина (7) постаје:

${\displaystyle {1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}+(k^{2})A=0}$ (8)

Једначину покушавамо да решимо сепарацијом варијабли:

${\displaystyle A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),\,}$

гдее Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:

${\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,\,}$ (9)

и

${\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.\,}$ (10)

Решења од (9) и (10) су:

${\displaystyle \Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,\,}$

${\displaystyle R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),\,}$

где је ${\displaystyle J_{n}(\rho )}$ Беселова функција, која је решење Беселове једначине:

${\displaystyle \rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,}$

У сферним координатама опште решење Хелмхолцове једначине је:

${\displaystyle A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr))Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi }).}$

где су ${\displaystyle j_{\ell }(kr)}$ и ${\displaystyle y_{\ell }(kr)}$ сферне Беселове функције, а :${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi })}$ представља сферне хармонике.

Нехомогена Хелмхолцова једначина:

${\displaystyle (\Delta +k^{2})U=f}$

рјешава се уз помоћ Гринове функције, односно:

${\displaystyle \nabla ^{2}G(x)+k^{2}G(x)=\delta (x).\,}$

Пошто је:

${\displaystyle (\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{ik|x|}=e^{ik|x|}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad} \,\,e^{ik|x|},\operatorname {grad} {\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{ik|x|}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{ik|x|}=}$

${\displaystyle =-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).}$

онда је тродимензионална Гринова функција:

${\displaystyle G_{1}(x)=-{\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}},\qquad G_{2}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}}.}$

Горе написане једначине могу да се пишу у векторском облику као:

${\displaystyle \left(\Delta +k^{2}\right)G({\vec {r}},{\vec {r}}')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')}$

а Гринова функција као:

${\displaystyle G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-{\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}$

Решење нехомогене Хелмхолцове једначине се онда може приказати помоћу Гринове функције као: ${\displaystyle U({\vec {r}})=\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}')G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}$

• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. . New York: Dover. 1965. ISBN 978-0-486-61272-0. 
• Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. . New York: McGraw-Hill. 1953. ISBN 978-0-07-043316-8. 
• Хелмхолцове једначине