தொடர் பெருக்கம்

ஒரு நேர்ம முழு எண்ணின் தொடர் பெருக்கம் அல்லது காரணியம் அல்லது காரணீயம் (factorial) என்பது அதற்கு சமமாகவும் குறைவாகவும் உள்ள எல்லா நேர்ம முழு எண்களின் பெருக்கல் ஆகும். இது n! எனக் குறிக்கப்படும்.

எ.கா:

${\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\ }$

${\displaystyle 4!=4\times 3\times 2\times 1=24\ }$

${\displaystyle 3!=3\times 2\times 1=6\ }$

${\displaystyle 2!=2\times 1=2\ }$

${\displaystyle 1!=1\ }$

${\displaystyle 0!=1\ }$ (வெற்றுப் பெருக்கத்தின் வழமைப்படி^[1]).

தொடர் பெருக்கச் செய்கையைக் கணிதத்தில் பல பகுதிகளில் காணமுடியும். குறிப்பாக சேர்மானவியல், இயற்கணிதம், கணிதப் பகுப்பாய்வு என்பவற்றைக் குறிப்பிடலாம். இதன் மிக அடிப்படையாக பயன்பாட்டை, வரிசை மாற்றத்தில், வெவ்வேறான n பொருட்களை n! வழிகளில் தொடராக ஒழுங்குபடுத்தலாம்" என்பதில் காணமுடிகிறது. இந்த உண்மை ஆகப் பிந்தியது 12ம் நூற்றாண்டிலேயே இந்திய அறிஞர்களுக்குத் தெரிந்திருக்கிறது.^[2] பிரான்சு நாட்டைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் கிறித்தியன் கிறாம்ப் என்பவர் n! குறியீட்டை 1808 ஆம் ஆண்டில் முதன் முதலில் அறிமுகப்படுத்தினார்.

தொடர் பெருக்கச் சார்பு பின்வருமா று வரையறுக்கப்படுகிறது:

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\!}$

அல்லது பின்வரும் தொடர்பின் மூலமும் இது தரப்படலாம்:

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

அடுக்கு விதியைப் பயன்படுத்தியும் பின்வருமாறு இதை வரையறுக்க முடியும்:

${\displaystyle n!=D^{n}x^{n}\;}$^[3]

மேற்காட்டிய எல்லா வரைவிலக்கணங்களும் :${\displaystyle 0!=1,\ }$ என்பதை உட்படுத்துகின்றன.

பெரும்பாலும் சேர்மானவியலைச் சேர்ந்தது என்றாலும் கணிதத்தின் பல பிரிவுகளிலுள்ள வாய்ப்பாடுகளில் தொடர் பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

• வெவ்வேறான n பொருட்களை வெவ்வேறான n! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். அதாவது வெவ்வேறான n பொருட்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை n! ஆகும்.
• வரிசைப்படுத்தல் தவிர்க்கப்பட வேண்டுமென்பதற்காகப் பெரும்பாலும் தொடர் பெருக்கமானது வாய்ப்பாடுகளில் பகுதியில் காணப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு: n பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து k பொருட்களைத் தேர்வுசெய்து அவற்றை வரிசைப்படுத்தும் வழிகளின் எண்ணிக்கை:

${\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}$

இந்த வழிகளில் தேர்வுகள் ஒவ்வொன்றிலும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட k பொருட்களை வரிசைப்படுத்தக்கூடிய k! வெவ்வேறான வழிகளும் அடங்கும் எனபதால் வரிசைப்படுத்தலைத் தவிர்த்து, n பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து k பொருட்களின் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

இந்த வாய்ப்பாடு (1 + X)ⁿ விரிவில் X^k இன் கெழுவாகவும் அமைவதால் ஈருறுப்புக் கெழு (${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

• நுண்கணிதத்தில் டெயிலரின் தேற்றத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

டெயிலரின் தேற்றம்:^[4][5][6]

k ≥ 1 ஒரு முழு எண்; a ∈ R புள்ளியில், சார்பு f : R → R k தடவைகள் வகையிடத்தக்கது எனில், h_k : R → R என்ற ஒரு சார்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},}$

${\displaystyle {\mbox{and}}\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0}$

• நிகழ்தகவின் பல வாய்ப்பாடுகளில் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு:

• பாய்சான் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் வாய்ப்பாடு^[7]:

${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$

இவ்வாய்ப்பாட்டில்,

தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X; λ > 0; k =0,1,2,…, e = 2.71828....

•  n மற்றும் அதைவிடச் சிறியதான அனைத்து பகா எண்களாலும் n! வகுபடும். இதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் முடிவுகள்:
  • n > 5 ஒரு பகு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே

${\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0{\pmod {n}}.}$

• • p ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}$ (வில்சனின் தேற்றம்)

• பகா எண்ணாகவும் தொடர் பெருக்கமாகவும் அமையும் ஒரே எண் 2.  n! ± 1, என்ற வடிவிலமையும் எண்கள் காரணீயப் பகாஎண்களென அழைக்கப்படுகின்றன.
• 1! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டின் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை இரட்டை எண்களாகும். 5! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டு மற்றும் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை பத்தின் மடங்குகளாக இருக்கும்.

தொடர் பெருக்கங்களின் பெருக்கல் தலைகீழிகளாலான தொடர், ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\ldots =e\,.}$

இத் தொடரின் கூடுதல் ஒரு விகிதமுறா எண் என்றாலும், தொடரின் உறுப்பிலுள்ள தொடர் பெருக்கங்களை நேர் முழு எண்களைக் கொண்டு பெருக்கி, தொடரை விகிதமுறு எண்ணைக் கூடுதலாகக் கொண்ட ஒருங்கு தொடராக மாற்றலாம்:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}\ldots =1\,.}$

இதனால் தொடர் பெருக்கங்கள் விகிதமுறாத் தொடர்முறைகளை அமைக்காது.^[8]

கணிதத்தில் தொடர் பெருக்கம் போன்ற பிற பெருக்கங்களும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை:

பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம் (primorial) என்பது, பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கச் சார்பாக அமையும். (OEIS-இல் வரிசை A002110)

n வது பகா எண் p_n இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் p_n# என்பது முதல் n பகா எண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:^[9][10]

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$

p_k என்பது k -வது பகா எண்.

எடுத்துக்காட்டாக:

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

முதல் ஆறு பகாஎண் தொடர்பெருக்கங்கள்:

1, 2, 6, 30, 210, 2310.

(இதில் p₀# = 1 என வெற்றுப் பெருக்கமாகக் கொள்ளப்படுகிறது.))

பொதுவாக ஏதேனுமொரு இயல் எண்ணிற்கு கீழ்க்காண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

ஒரு நேர் முழு எண் n இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் n# என்பது n -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:^[9][11]

${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$

இங்கு, ${\displaystyle \scriptstyle \pi (n)}$ பகாஎண்-எண்ணும் சார்பு (OEIS-இல் வரிசை A000720) , n -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களைத் தருகிறது.

இவ்வரையறை கீழுள்ள வரையறைக்கு ஈடானதாகும்:

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\n\times ((n-1)\#)&{\text{if }}n>1\ \And \ n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n>1\ \And \ n{\text{ is composite}}.\end{cases}}}$

எடுத்துக்காட்டாக, 12# என்பது 12க்கும் குறைந்த பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கம்:

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

ஒற்றை நேர் எண் n வரையிலான ஒற்றை எண்களின் பெருக்கம் ’இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்’ (double factorial) எனப்படும். இதன் குறியீடு n!!.^[12]

${\displaystyle (2k-1)!!=\prod _{i=1}^{k}(2i-1)={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={\frac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}={\frac {{(2k)}^{\underline {k}}}{2^{k}}}.}$

எடுத்துக்காட்டு:

9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.

n = 1, 3, 5, 7, ... எனில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கங்களின் தொடர்முறை:

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, .... (OEIS-இல் வரிசை A001147)

முக்கோணவியல் தொகையீட்டில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.^[13]

எதிரிலா முழு எண்களின் k-வது தொடர்பெருக்கம் ${\displaystyle n!^{(k)}}$:

${\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k,\\n((n-k)!^{(k)}),&&{\mbox{if }}n\geq k\,,\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}$

தொடர்பெருக்கம் ${\displaystyle n!}$ எதிர் எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படாதது போல, இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் ${\displaystyle n!!}$ எதிர் இரட்டை எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை; பல்தொடர்பெருக்கம் ${\displaystyle n!^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ஆல் வகுபடும் எதிர் முழுஎண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை.