நடுப்புள்ளி முக்கோணம்

வடிவவியலில் ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைத்து வரையப்படும் முக்கோணமானது மூல முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளி முக்கோணம் (medial triangle, midpoint triangle) எனப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முக்கோணம் ABC இன் பக்கம் BC இன் நடுப்புள்ளி D, CA இன் நடுப்புள்ளி E, AB இன் நடுப்புள்ளி F எனில், முக்கோணம் DEF ஆனது முக்கோணம் ABC இன் நடுப்பக்க முக்கோணம் ஆகும். n பக்கங்கள் கொண்டஒரு பல்கோணத்தின் நடுப்பக்க பல்கோணத்தின் n=3 என்ற மதிப்பிற்கான சிறப்புவகையாக ஒரு முக்கோணத்திற்கு அதன் நடுப்பக்க முக்கோணம் அமைகிறது.

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று நடுக்கோடுகளுக்கு இணையாகவும் அவற்றின் நீளங்களுக்குச் சமநீளங்கள் கொண்டதாகவும் உள்ள மூன்று கோட்டுத்துண்டுகளால் உருவாக்கப்படும் "நடுக்கோட்டு முக்கோணமும்" நடுப்புள்ளி முக்கோணமும் ஒன்றல்ல; வெவ்வேறானவை.

பண்புகள்

மூல முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகளும், நடுக்கோட்டுச்சந்தியும் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்திற்கும் நடுக்கோடுகளாகவும் நடுக்கோட்டுச் சந்தியாகவும் இருக்கும்.
நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் சுற்றளவானது, மூல முக்கோணத்தின் சுற்றளவில் பாதியளவாகும்.
நடுப்புள்ளி முக்கோணம் வரையப்படுவதால் மூல முக்கோணத்தில் உண்டாகும் நான்கு முக்கோணங்களும் (நடுப்புள்ளி முக்கோணம் அடங்கலான) ஒன்றுக்கொன்று சர்வசமமான முக்கோணங்களாக இருப்பதால், நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் பரப்பளவானது மூல முக்கோணத்தின் பரப்பளவில் நான்கில் ஒரு பங்காக இருக்கும்.^[1]^:p.177
நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் செங்கோட்டுச்சந்தி, மூல முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட மையமாகும்.
நடுப்புள்ளி முக்கோணமானது, மூல முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட மையத்தின் பாத முக்கோணம் ஆகும்.
மூல முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டம், நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் சுற்று வட்டமாக அமையும்.
நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் நாகெல் புள்ளியானது மூல முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையம் ஆகும்.^[2]^{:p.161,Thm.337}
மூல முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கும் செங்கோட்டுச்சந்தியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளின் நடுப்புள்ளிகளை உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணமானது, நடுப்புள்ளி முக்கோணத்திற்குச் சர்வ சமமாக இருக்கும்.^[2]^{:p.103,#206;p.108,#1}
மூல முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையம், நடுப்புள்ளி முக்கோணத்துக்குள் அமையும்.^[3]^{:p.233,Lemma 1}
மூல முக்கோணத்துக்குள் உள்ள ஒரு புள்ளியானது நடுப்புள்ளி முக்கோணத்துக்குள்ளும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அப்புள்ளி மூல முக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டத்தின் மையமாக இருக்க முடியும்.^[4]^:p.139
மூல முக்கோணத்துக்குள் வரையப்படும் முக்கோணங்களுக்குள், அவ்வாறு வரையப்படும்போது கிடைக்கக்கூடிய மீதி மூன்று முக்கோணங்களைவிட அதிகளவுப் பரப்பளவு இல்லாமல் இருக்கக்கூடிய ஒரே முக்கோணம் நடுப்புள்ளி முக்கோணம் மட்டும்தான்.^[5]^{:p. 137}

ஆட்கூறுகள்

முக்கோணம் ABC இன் பக்க நீளங்கள் a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| எனில் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள் ( Trilinear coordinates):

D = 0 : 1/b : 1/c
E = 1/a : 0 : 1/c
F = 1/a : 1/b : 0

எதிர்நிரப்பு முக்கோணம்

முக்கோணம் ABC இன் நடுப்புள்ளி முக்கோணம் DEF எனில், DEF முக்கோணத்தின் எதிர்நிரப்பு முக்கோணம் (anticomplementary triangle) அல்லது எதிர்நடுப்புள்ளி முக்கோணம் (antimedial triangle) என ABC முக்கோணம் அழைக்கப்படும்.

முக்கோணம் ABC இன் எதிர்நிரப்பு முக்கோணம்:

உச்சி C வழியாக, AB பக்கத்துக்கு இணையாகவும், உச்சி B வழியாக, AC பக்கத்துக்கு இணையாகவும், உச்சி A வழியாக, BC பக்கத்துக்கு இணையாகவும் வரையப்படும் மூன்று கோடுகளாலும் அடைவுபெறும் முக்கோணம் ABC முக்கோணத்தின் எதிர்நிரப்பு முக்கோணமாக இருக்கும் .

முக்கோணம் ABC இன் எதிர்நிரப்பு முக்கோணம் D'E'F' எனில் அதன் உச்சிகளின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள்:

D' = −1/a : 1/b : 1/c
E' = 1/a : −1/b : 1/c
F' = 1/a : 1/b : −1/c

மேற்கோள்கள்

↑ Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
↑ ^2.0 ^2.1 Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover Publications, 2007.
↑ Franzsen, William N.. "The distance from the incenter to the Euler line", Forum Geometricorum 11 (2011): 231–236.
↑ Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
↑ Torrejon, Ricardo M. "On an Erdos inscribed triangle inequality", Forum Geometricorum 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html