நேர்மாறுச் சார்பு

கணிதத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு (inverse function) என்பது ஒரு சார்பினால் ஏற்படக்கூடிய விளைவை இல்லாமல் செய்யக்கூடிய விளைவுடைய மற்றதொரு சார்பாகும். x எனும் உள்ளீட்டின் ƒ சார்புக்குரிய வெளியீடு y எனில் நேர்மாறுச் சார்பு g ஆனது y -ஐ உள்ளிடாகவும் x -ஐ வெளியீடாகவும் கொண்டிருக்கும். அதாவது:

ƒ(x)=y எனில், g(y)=x.

இரண்டையும் ஒன்றாகச் சேர்த்து ஒரே குறியீட்டில் g(ƒ(x))=x எனக் குறிக்கலாம். சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி, g(x) சார்பை ƒ(x) சார்புடன் சேர்க்கக் கிடைக்கும் இப்புதுச் சார்பு மாறி x -ஐ எந்தவொரு மாற்றமுமின்றி அப்படியேத் திருப்பித் தருகின்றது.

ஒரு சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு இருந்தால் அச்சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்பு எனப்படும். நேர்மாற்ற்றத் தக்க சார்புகளின் நேர்மாறுச் சார்புகள் தனித்தன்மை உடையவை. அதாவது ஒரு நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்புக்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்புதான் உண்டு. ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு: ƒ⁻¹ (வாசிக்க: f -ன் நேர்மாறு. இக்குறியீட்டைத் தவறாக ƒ -ன் அடுக்கு -1 என எடுத்துக்கொள்ளக் கூடாது.)

ƒ சார்பின் ஆட்களம் X, வீச்சு Y எனில்:

Y -ஐ ஆட்களமாகவும் X -ஐ வீச்சாகவும் கொண்டு,

${\displaystyle f(x)=y\,\,{\text{if and only if}}\,\,g(y)=x{\text{.}}\,\!}$

என்பதையும் நிறைவு செய்யும் ஒரு தனித்த சார்பு g இருக்குமானால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். g சார்பு, ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு என அழைக்கப்படும். மேலும் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு ƒ⁻¹.

ஒரு சார்பின் நேர்மாறு உறவு அச்சார்பின் வீச்சு Y -ன் மீது ஒரு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். அப்பொழுது அந்த நேர்மாறுத் தொடர்பே சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.

அனைத்து சார்புகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகள் இருக்காது. ஒரு சார்பின் வீச்சிலில் உள்ள ஒவ்வொரு y ∈ Y -ம் ஆட்களத்தின் ஒரேயொரு உறுப்புக்கு மட்டும் (x ∈ X) எதிருருறுப்பாக இருந்தால்தான் அச்சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. இப்பண்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று பண்பு எனவும் இப்பண்புடைய சார்புகள் உள்ளிடு சார்புகள் எனவும் அழைக்கப்படும்.

நேர் மாறல் சார்பு :

${\displaystyle y=kx.}$

இச்சார்பில் அமைந்துள்ள கணிதச் செயல் பெருக்கல். பெருக்கல் செயலுக்கு எதிர் கணிதச் செயல் வகுத்தல். பெருக்கலுக்குப் பதில் வகுத்தலைப் பயன்படுத்த இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக எதிர் மாறல் சார்பு கிடைக்கின்றது.

எதிர்மாறல் சார்பு:

${\displaystyle y=kx.}$

வர்க்கச் சார்பு:

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

வர்க்கச் சார்பின் ஆட்களத்தைப் பொறுத்து அது நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும். அதாவது வர்க்கமூலச் சார்பு அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.

ஆட்களம் மெய்யெண் கணமாக இருந்தால் வீச்சில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இரண்டு முன்னுருக்கள் ஆட்களத்தில் இருக்கும்.( எடுத்துக்காட்டாக, 5 மற்றும் -5 இரண்டின் வர்க்கமும் 25 தான்.) எனவே நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.

ஆட்களம் எதிரெணில்லா மெய்யெண்களின் கணமாக இருந்தால் வர்க்கச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வர்க்கமூலச் சார்பு அமையும்.

ƒ ஒரு நேர்மாற்றத் தக்க சார்பு மற்றும் அதன் ஆட்களம் X, வீச்சு Y எனில்:

${\displaystyle f^{-1}\left(\,f(x)\,\right)=x,\forall x\in X{\text{.}}}$

சார்புகளின் தொகுப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\mathrm {id} _{X}{\text{,}}}$

இதில் id_X என்பது X கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு.

ƒ⁻¹(x), ƒ(x)⁻¹ இரண்டும் ஒன்றல்ல. ƒ⁻¹(x) -லுள்ள "−1" அடுக்கைக் குறிக்காது. நேர்மாறுச் சார்பைப் போலவே தொடரும் சார்புகளும் (iterated function) குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ƒ² என்பது சார்பு ƒ -ஐ இருமுறைத் தொடர்ந்து செயல்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

ƒ(x) = x² − 1 எனில்:

ƒ²(x) = ƒ(ƒ(x)) = ƒ(x² − 1) = (x² − 1)² − 1 = x⁴ − 2x².

குறியீட்டில் இத்தொடர் செயல்முறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle f^{2}(x)=f(f(x))=(f\circ f)(x).}$

நுண்கணிதத்தில், ƒ⁽ⁿ⁾ என்பது ƒ சார்பின் n -ம் வகைக்கெழுவைக் குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,

${\displaystyle f^{(2)}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x).}$

முக்கோணவியலில் sin² x என்பது வழக்கமாக sin x -ன் வர்க்கத்தைக் குறிக்கம்:

${\displaystyle \sin ^{2}x=(\sin x)^{2}.\,\!}$

எனினும் sin⁻¹ x என்பது sin x -ன் பெருக்கல் தலைகீழியைக் குறிப்பதில்லை, மாறாகச் சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கிறது. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெயர்களுக்கு முன் "arc" என்ற முன்னொட்டைச் சேர்த்து எழுதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பானது sin⁻¹ x என்பதற்குப் பதில் arcsin எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

${\displaystyle \sin ^{-1}x=\arcsin x.\,\!}$

(sin x)^–1 என்ற சைன் சார்பின் பெருக்கல் தலைகீழி csc x:

${\displaystyle \csc x=(\sin x)^{-1}={\frac {1}{\sin x}}.\,\!}$

ஒரு சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதற்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்பு மட்டுமே இருக்கும். அதாவது ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு தனித்தன்மையுடையது. மேலும் அச்சார்பின் நேர்மாறுத் தொடர்பே அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக அமையும்.

ஒரு சார்பும் அதன் நேர்மாறு சார்புக்கும் இடையே ஒரு சமச்சீர்த்தன்மை உள்ளது.

ஆட்களம் X மற்றும் வீச்சு Y கொண்ட சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ⁻¹ -ன் ஆட்களம் Y கணமாகவும் வீச்சு X கணமாகவும் இருக்கும். மேலும் ƒ⁻¹ -ன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ ஆக இருக்கும்.

ƒ சார்பின் ஆட்களம் X மற்றும் வீச்சு Y. g சார்பின் ஆட்களம் Y மற்றும் வீச்சு X எனில்:

${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{X}}$ எனில்

${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{Y}}$ ஆகும்.

ஒரு சார்பு மற்றும் அதன் நேர்மாறு இரண்டுக்குமுள்ள சமச்சீர்ப் பண்பினைப் பின்வருமாறு தரலாம்:

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.\,\!}$

இரு சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு:

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}$

இதில் g மற்றும் f -ன் வரிசை மாறுகிறது. f -ஐ தொடர்ந்த g -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்குவதற்கு, முதலில் g -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்கிப் பின் f -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

f(x) = 3x

g(x) = x + 5.

சேர்ப்பு சார்பு g o f என்பது முதலில் மூன்றால் பெருக்கிப் பின் ஐந்தைக் கூட்டும் விளைவை ஏற்படுத்தும் சார்பு.:

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5}$

இவ்விளைவை இல்லாமல் செய்வதற்கு முதலில் ஐந்தைக் கழித்துப் பின் மூன்றால் வகுக்க வேண்டும்:

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(y)={\tfrac {1}{3}}(y-5)}$

இது (f^–1 o g^–1) (y) என்ற சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சமமாக உள்ளது.

X என்ற கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்:

${\displaystyle \mathrm {id} _{X}^{-1}=\mathrm {id} _{X}}$

பொதுவாகச் சார்பு ƒ: X → X -க்கு,

ƒ o ƒ = id_X என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ƒ தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.

ஒரு-மாறி நுண்கணிதத்தில் மெய்யெண் கணத்திலிருந்து மெய்யெண் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட சார்புகள்தான் முக்கியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. அச்சார்புகள் பெரும்பாலும் கீழ்க்காண்பது போன்ற வாய்ப்பாடுகளால் தரப்படுகின்றன:

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}.\,\!}$

சில முக்கிய சார்புகளும் அவற்றின் நேர்மாறுச் சார்புகளும் கொண்ட அட்டவணை:

சார்பு ƒ(x)	நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1(y)	குறிப்புகள்
x + a	y – a
a – x	a – y
mx	y / m	m ≠ 0
1 / x	1 / y	x, y ≠ 0
x2	${\displaystyle {\sqrt {y}}}$	x, y ≥ 0 மட்டும்
x3	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{y}}}$	x மற்றும் y மீது கட்டுப்பாடு இல்லை
xp	y1/p (i.e. ${\displaystyle {\sqrt[{p}]{y}}}$)	பொதுவாக x, y ≥ 0 , p ≠ 0
ex	ln y	y > 0
ax	loga y	y > 0 and a > 0
முக்கோணவியல் சார்புகள்	நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்	கட்டுப்பாடுகள்,கீழே தரப்பட்டுள்ள அட்டவணைப்படி*

சார்பு	வழக்கமான முதன்மை மதிப்பின் வீச்சு
sin−1	–π⁄2 ≤ sin−1(x) ≤ π⁄2
cos−1	0 ≤ cos−1(x) ≤ π
tan−1	–π⁄2 < tan−1(x) < π⁄2
cot−1	0 < cot−1(x) < π
sec−1	0 ≤ sec−1(x) ≤ π
csc−1	−π⁄2 ≤ csc−1(x) ≤ π⁄2

y = ƒ(x) என்ற சார்பின் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து x -ன் மதிப்பைக் கண்டுபிடித்தால் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ⁻¹ -ன் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

நேர்மாறுச் சார்பு ƒ⁻¹ -ன் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle f^{-1}(y)={\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.\,\!}$

சிலசமயங்களில் நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவுறு எண்ணிக்கை கொண்ட வாய்ப்பாடாக அமையாமலும் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,\,\!}$

இச்சார்பு ƒ, ஒன்றுக்கு-ஒன்றுச் சார்பாக இருப்பதால் இதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. அந்நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}^{n}\right)\right)}$

${\displaystyle y=f(x)}$ எனும் ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ⁻¹ -ன் வரைபடம் ${\displaystyle x=f(y)}$ எனும் சமன்பாட்டின் வரைபடமாக இருக்கும்.

இச்சமன்பாடு மற்றும் ƒ சார்பின் சமன்பாடு y = ƒ(x) என்பதில் x மற்றும் y இரண்டையும் பரிமாற்றம் செய்வதால் கிடைக்கக்கூடியது என்பதால் ƒ சார்பின் வரைபடத்தில் x மற்றும் y, அச்சுகளை பரிமாற்றம் செய்தால் ƒ⁻¹ -ன் வரைபடம் கிடைக்கும். இவ்வாறு அச்சுகளைப் பரிமாற்றுதல் y = x கோட்டில் பிரதிபலிப்பதற்குச் சமம்.

ஒருதொடர்ச்சியான சார்பு ƒ திட்டமாக ஏறும் அல்லது இறங்கும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x\,\!}$ இச்சார்பின் வகைக்கெழு:

${\displaystyle f\prime (x)=3x^{2}+1\,\!}$ இவ்வாகைக்கெழுவின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மதிப்பாகத்தான் இருக்கும் என்பதால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும்.

சார்பு ƒ வகையிடத்தக்கது எனில், ƒ′(x) ≠ 0 என இருக்கும்வரை அதன் நேர்மாறு வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு:

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}.}$

x = ƒ^–1(y) எனக் கொண்டால் மேற்காணும் வாய்ப்பாட்டைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

• ƒ என்பது வெப்ப அளவையின் அலகை செலியசிலிருந்து பாரன்ஹீட்டுக்கு மாற்றும் சார்பு எனில்:

${\displaystyle f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;\,\!}$

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு வெப்ப அளவையின் அலகை பாரன்ஹீட்டிலிருந்து செலியசுக்கு மாற்றுகிறது:

${\displaystyle f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),\,\!}$

${\displaystyle f^{-1}\left(\,f(C)\,\right)=f^{-1}\left(\,{\tfrac {9}{5}}C+32\,\right)={\tfrac {5}{9}}\left(\left(\,{\tfrac {9}{5}}C+32\,\right)-32\right)=C{\text{, for every }}C{\text{.}}}$

• ƒ என்பது ஒரு குடும்பத்திலுள்ள ஒவ்வொரு குழந்தைக்கும் அதன் பிறந்த ஆண்டினைத் தொடர்புபடுத்தும் ஒரு சார்பு எனில் அச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட ஆண்டில் எந்தக் குழந்தை பிறந்தது என்ற தொடர்பைத் தரும் சார்பு.

ஆனால் அக்குடும்பத்தில் இரட்டைக் குழந்தகள் பிறந்திருந்தால் ƒ சார்பு இரு குழந்தைகளை ஒரே ஆண்டுடன் தொடர்பு படுத்தும். அப்போது இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இராது. அதனால் அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு அமையாது.

அதேபோல அக்குடும்பத்தில் குழந்தைகள் பிறக்காத ஆண்டுகளை எடுத்துக் கொண்டாலும் அதனை ஒரு குழந்தையுடன் தொடர்பு படுத்தும் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்காது என்பதால் இந்நிலையிலும் ƒ -க்கு நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.

எனவே ஒவ்வொரு குழந்தையும் வெவ்வேறு ஆண்டுகளில் பிறந்திருந்து அந்த ஆண்டுகளை மட்டும் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

• ${\displaystyle f({\text{mathivathani}})=2005,}$ ${\displaystyle f^{-1}(2005)={\text{mathivathani}}}$
• ${\displaystyle f({\text{poonkuzali}})=2007,}$ ${\displaystyle f^{-1}(2007)={\text{poonkuzali}}}$
• ${\displaystyle f({\text{yaazhini}})=2009,}$ ${\displaystyle f^{-1}(2009)={\text{yaazhini}}}$

சார்பு ƒ ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இல்லாமல் இருந்தால் கூட அதன் ஆட்களத்தைக் கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் அதற்கு ஒரு பகுதி நேர்மாறுச் சார்பை வரையறுக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=x^{2}\,\!}$

${\displaystyle \pm x\in \mathbb {R} ,}$ இரண்டின் வர்க்கமும் ஒரே எண் என்பதால் இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பு அல்ல. ஆனால் இச்சார்பின் ஆட்களத்தை x ≥ 0 எனக் கட்டுப்படுத்தினால் (:${\displaystyle f\colon \mathbb {R^{+}} \rightarrow \mathbb {R} }$ என வரையறுத்தால்) ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாகிவிடும். அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பும் இருக்கும்.

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

• ƒ: X → Y சார்பின் இடது நேர்மாறுச் சார்பு g : Y → X என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:

${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{X}.\,\!}$

அதாவது சார்பு g கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.

${\displaystyle f(x)=y}$ எனில்

${\displaystyle g(y)=g(f(x))=x.}$

ƒ சார்பின் வீச்சின் மீது நேர்மாறுச் சார்பு f⁻¹ ஆகவும் வீச்சிலில்லாத Y கணத்தின் உறுப்புகளுக்கு வேறு விதமாகவும் சார்பு g அமைகிறது. சார்பு ƒ ஒரு உள்ளிடு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு இடது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

• ƒ: X → Y சார்பின் வலது நேர்மாறுச் சார்பு h : Y → X என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:

${\displaystyle f\circ h=\mathrm {id} _{Y}.\,\!}$

அதாவது சார்பு g கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.

${\displaystyle h(y)=x}$ எனில்

${\displaystyle f(x)=f(h(y))=x.}$

சார்பு ƒ ஒரு முழுச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு வலது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

ஒரு சார்பின் வலது நேர்மாறுச் சார்பு இடது நேர்மாறாகவும் வலது நேர்மாறு இடது நேர்மாறாகவும் இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow [0,\infty )}$

${\displaystyle f(x)=x^{2},}$ ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,}$ மற்றும்

${\displaystyle g\colon [0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}},}$ x≥0 எனில்:

${\displaystyle f(g(x))=x,}$ ${\displaystyle \forall x\in [0,\infty ),}$

அதாவது ƒ -ன் வலது நேர்மாறுச் சார்பு g . ஆனால் அது ƒ -ன் இடது நேர்மாறுச் சார்பு அல்ல. ஏனெனில் :${\displaystyle g(f(-1))=1\not =-1.}$

• Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 0-914098-89-6
• Stewart, James (2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7