பகுதி வகைக்கெழு

கணிதத்தில் பல்மாறிகளில் அமைந்த ஒரு சார்பின் பகுதி வகைக்கெழு அல்லது பகுதி வகையிடல் (partial derivative, partial differenciation) என்பது அச்சார்பை அதனுடைய ஏதாவது ஒரு மாறியைப் பொறுத்து மட்டும் வகையிடல் ஆகும். குறிப்பிட்ட ஒரு மாறியைப் பொறுத்து வகையிடும்போது அச்சார்பின் பிற மாறிகள் மாறிலிகளாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. (முழுவகையிடலில் சார்பின் எல்லா மாறிகளுமே மாறும்தன்மையுடன் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது). கணிதப் பிரிவுகளான திசையன் நுண்கணிதம் மற்றும் வகையீட்டு வடிவவியலில் பகுதி வகையிடல் பயன்படுகிறது.

${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ என்ற இருமாறிச் சார்பின் ${\displaystyle x}$ ஐப் பொறுத்த பகுதி வகைக்கெழுவின் குறியீடுகள்:

${\displaystyle f_{x}^{\prime },\ f_{x},\ \partial _{x}f,\ D_{x}f,\ D_{1}f,\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,{\text{ or }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.}$

${\displaystyle z=f(x,y,\dots ),}$ எனில் சார்பு ${\displaystyle z}$ இன் ${\displaystyle x}$ ஐப் பொறுத்த பகுதி வகைக்கெழுவின் குறியீடு:

${\displaystyle {\partial z} \over {\partial x}.}$

ஒரு சார்பின் பகுதி வகைக்கெழுவும் அச்சார்பின் தருமதிப்புகளையே (arguments) கொண்டிருக்கும் என்பதால் கீழ்வரும் குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது:

${\displaystyle f_{x}(x,y,...),\ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,...).}$

பகுதி வகையிடலுக்கான குறியீடு ∂ ஆகும். கணிதத்தில் இக்குறியீடானது, முதன்முதலாக 1770 இல் கணிதவியலாளர் மார்க்சு டி கான்டோர்செட்டால், பகுதி வகைக்கெழுவைக் குறிப்பதற்குப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. தற்கால பகுதிவகைக்கெழுவின் குறியீடு 1786 ஆம் ஆண்டில் கணிதவியலாளர் "அட்ரியன்-மாரி லெஜென்டிரி"யால் உருவாக்கப்பட்டது; ஆனால் அவர் அதனைத் தொடர்ந்து பயன்படுத்தாமல் விட்டுவிட்டார். பின்னர் இக்குறியீடு 1841 இல் கணிதவியலாளர் "கார்ல் குஸ்டவ் ஜேக்கப் ஜேக்கோபி"யால் (Carl Gustav Jacob Jacobi) மீண்டும் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.^[1]

f என்பது ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்த சார்பு. எடுத்துக்காட்டாக,

${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

z = x² + xy + y² இன் வரைபடம். (1, 1) புள்ளியில் இச்சார்பின் பகுதி வகைக்கெழு (இதில் y மாறியாகக் கொள்ளப்படுகிறது) சார்பின் வளைவரைக்கு, xz-தளத்து இணையாகவுள்ள தொடுகோட்டின் சாய்வுக்குச் சமமாக உள்ளது.

xz-தளத்தில், y = 1 இல் சார்பின் வரைபடத்தின் ஒரு பகுதி. இரு அச்சுகளும் இப்படத்தில் வெவ்வேறு அளவுதிட்டத்தில் வரைப்பட்டுள்ளன. தொடுகோட்டின் சாய்வு 3.

இச்[[சார்பின் வரைபடம் யூக்ளிடிய வெளியிலமைந்த ஒரு மேற்பரப்பைக் காட்டுகிறது. இம்மேற்பரப்பின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் முடிவிலி எண்ணிக்கையிலான தொடுகோடுகள் உள்ளன. இச்சார்பின் பகுதி வகையிடலானது, இந்தத் தொடுகோடுகளின் சாய்வுகளைத் தருகிறது. இந்தத் தொடுகோடுகளில் முக்கியமானவையாகக் கொள்ளப்படுபவை, xz-தளத்திற்கும் yz-தளத்திற்கும் இணையான தொடுகோடுகளாகும் (இதனால் முறையே y அல்லது x மாறிகள், மாறிலிகளாகக் கொள்ளப்படுகின்றன).

${\displaystyle P(1,1)}$ என்ற புள்ளியில் ${\displaystyle xz}$- தளத்துக்கு இணையான தொடுகோட்டின் சாய்வு கண்டுபிடிப்பதற்கு சார்பின் கோவையானது ${\displaystyle y}$ ஐ மாறிலியாகக் கொண்டு பகுதி வகையிடப்படுகிறது. சார்பின் வரைபடமும் ${\displaystyle xz}$- தளமும் வலப்புறப் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. ${\displaystyle y=1}$ தளத்தில் இச்சார்பு எவ்வாறு அமையும் என்பதைக் கீழே காணலாம்:

${\displaystyle y}$ ஐ மாறிலியாகக் கொண்டு சார்பை வகையிட, ${\displaystyle (x,y)}$ என்ற புள்ளியில் ${\displaystyle f}$ சார்பின் சாய்வு:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$

${\displaystyle (1,1)}$ என்ற புள்ளியில், சாய்வு = 3.

${\displaystyle (1,1)}$ என்ற புள்ளியில், ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$

ஒரு கூம்பின் கன அளவு V அக்கூம்பின் உயரம் h மற்றும் அதன் ஆரம் r ஐப் பொறுத்தது. கூம்பின் கனவளவின் வாய்பாடு:

${\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}$

r ஐப் பொறுத்து V இன் பகுதி வகைக்கெழு:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}$

இப்பகுதி வகைக்கெழுவானது உயரம் மாறாமல் அதன் ஆரம் மட்டும் மாறும்போது கூம்பின் கன அளவில் ஏற்படக்கூடிய மாற்ற விகிதத்தைக் குறிக்கிறது.

இதேபோல h ஐப் பொறுத்து V இன் பகுதி வகைக்கெழு:

${\displaystyle h}$ equals ${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{3}},}$

இப்பகுதி வகைக்கெழுவானது ஆரத்தில் மாற்றமில்லாமல் அதன் உயரம் மட்டும் மாறும்போது கூம்பின் கன அளவில் ஏற்படக்கூடிய மாற்ற விகிதத்தைக் குறிக்கிறது.

மாறாக, முறையே r மற்றும் h ஐப் பொறுத்து V இன் முழுவகைக்கெழுக்கள்:

${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}}$

${\displaystyle {\frac {dV}{dh}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}}$

${\displaystyle f}$ என்பது ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ ஆகிய மூன்று மாறிகளில் அமைந்த சார்பு.

முதல்-வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள்:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

இரண்டாம்-வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள்:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}$

இரண்டாம்-வரிசை கலப்பு பகுதிவகைக்கெழுக்கள்:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f_{x})_{y}=f_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}$

உயர்-வரிசை பகுதி மற்றும் கலப்பு வகைக்கெழுக்கள்:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\,\partial y^{j}\,\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}$