பிரித்தானியக் கொடித் தேற்றம்

யூக்ளிடிய வடிவவியலின் பிரித்தானியக் கொடித் தேற்றப்படி (British flag theorem) ABCD செவ்வகத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளி P எனில், அப்புள்ளியிலிருந்து செவ்வகத்தின் ஒரு சோடி எதிர்முனைகளின் தொலைவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதலும் மற்றொரு சோடி எதிர்முனைகளின் தொலைவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதலும் சமமாக இருக்கும்.^[1][2][3]

இத்தேற்றத்தின் கூற்றின் சமன்பாட்டு வடிவம்:

${\displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,}$

செவ்வகத்திற்கு வெளிப்புறமுள்ள புள்ளிகளுக்கும் இத்தேற்றத்தின் கூற்று உண்மையாகும். பொதுவாக, யூக்ளிடிய வெளியிலுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளிக்கும் அவ்வெளியில் உட்பதிந்த எந்தவொரு செவ்வகத்துக்கும் இத்தேற்றம் பொருந்தும்.^[4] P என்ற புள்ளியிலிருந்து ஒரு இணைகரத்தின் ஒவ்வொரு சோடி எதிர் முனைகளுக்குள்ள தொலைவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதலை ஒப்பிட்டால் அவை சமமாக இருக்காது. அக்கூடுதல்களின் வித்தியாசம் இணைகரத்தின் வடிவமைப்பை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும். P புள்ளியின் தேர்வைச் சார்ந்ததிருக்காது.^[5]

P இலிருந்து செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் AB, BC, CD, AD க்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகள் அப்பக்கங்களை முறையே W, X, Y , Z புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றன. அப்புள்ளிகளை இணைக்கும் நாற்கரம் WXYZ ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம் ஆகும்.

செங்கோண முக்கோணம் AWP இல் பித்தேகோரசு தேற்றம் பயன்படுத்த:

• ${\displaystyle AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}}$ (WP = AZ)

இதேமுறையில் மற்ற மூன்று முனைகளின் தொலைகளின் வர்க்கங்கள் காண:

• ${\displaystyle PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2},}$
• ${\displaystyle BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2},}$
• ${\displaystyle PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}.}$

இவற்றின் மூலம் பின்வருமாறு தேற்ற முடிவினைக் காணலாம்:

${\displaystyle AP^{2}+PC^{2}=(AW^{2}+AZ^{2})+(WB^{2}+ZD^{2})=(WB^{2}+AZ^{2})+(ZD^{2}+AW^{2})=BP^{2}+PD^{2}.\,}$

P இலிருந்து செவ்வகத்தின் முனைகளுக்கு வரையப்படும் கோட்டுத்துண்டுகளும், நிறுவலுக்காக வரையப்பட்ட செங்குத்துக்கோடுக்ளும் சேர்ந்து கிட்டத்தட்ட ஐக்கிய இராச்சியத்தின் கொடியின் வடிவை ஒத்தமைவதால், இத்தேற்றம் பிரித்தானியக் கொடித் தேற்றம் என்ற பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.