முக்கோண மையம்

சதுரங்களுக்கும், வட்டங்களுக்குமுள்ள மையங்கள் போல, முக்கோண மையம் (triangle center) என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் மையம் ஆகும். நடுக்கோட்டுச்சந்தி, செங்கோட்டுச்சந்தி, உள்வட்ட மையம், சுற்றுவட்ட மையம் ஆகியவை ஒரு முக்கோணத்தின் சில முக்கோண மையங்களாகும். இவற்றைப் பண்டையக் கிரேக்கக் கணிதவியலாளர்கள் அறிந்திருந்தனர். இப் புள்ளிகள் வடிவொப்புமையின்கீழ் மாறாத்தன்மை கொண்டவை. அதாவது சுழற்சி, எதிரொளிப்பு ஆகிய உருமாற்றச் செயலிகளினால் இப்புள்ளிகள் முக்கோணத்தின் உச்சியிலிருந்து அமையும் இடம் மாறுவதில்லை. இதன் விளைவாக, ஒரு புள்ளியானது முக்கோண மையமாக இருப்பதற்கு மாறாத்தன்மை ஒரு முக்கியப் பண்பாகிறது.

முக்கியமான முக்கோண மையங்களைப் பண்டைய கிரேக்கர்கள் கண்டறிந்திருந்தாலும் முக்கோண மையத்தின் வரையறையை அவர்கள் முறைப்படுத்தவில்லை. கிரேக்கர்களுக்குப் பின் பெர்மா புள்ளி, ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையம், சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுச்சந்தி, கெர்கோன் புள்ளி போன்ற முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய மேலும்பல புள்ளிகள் கண்டறியப்பட்டன. 1980களில் இத்தகைய சிறப்புப் புள்ளிகளுக்கிடையே சில பொதுப்பண்புகள் இருப்பதை அறிந்து, அவற்றின் அடிப்படையில் முக்கோண மையத்தின் முறையான வரையறை உருவாக்கப்பட்டது.^[1][2][3] As of 11 நவம்பர் 2014^[update], கிளார்க் கிம்பர்லிங் உருவாக்கிய முக்கோண மையங்களின் கலைக்களஞ்சியத்தில், 6,102 முக்கோண மையங்கள் உள்ளன.^[4]

a, b, c என்ற மூன்று மெய்யெண் மாறிகளில் அமைந்த சுழியற்ற மெய்மதிப்புச் சார்பானது கீழுள்ள இரு பண்புகளையும் கொண்டிருந்தால் அது "முக்கோண மையச் சார்பு" எனப்படும்:

• சமபடித்தான தன்மை:

f(ta,tb,tc) = tⁿ f(a,b,c) n ஏதேனும் ஒரு மாறிலி, t > 0.

• இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது மாறிகளில் இருசமச்சீர்மை:

f(a,b,c) = f(a,c,b).

f ஒரு முக்கோண மையச் சார்பாகவும், a, b, c மூன்றும் முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்களாகவும் இருந்தால்,f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b) -இதனை முக்கோட்டு ஆட்கூறுகளாகக் கொண்ட புள்ளி ஒரு "முக்கோண மையம்" ஆகும்.

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் முக்கோண மையங்கள் நிலைமாறாத்தன்மையுடையவை என்பதை இந்த வரையறை உறுதிப்படுத்துகிறது. ஒரு முக்கோண மையத்தின் மூன்று முக்கோட்டு ஆட்கூறுகளில் முதல் ஆட்கூற்றிலுள்ள a, b, c மூன்றையும் சுழற்சி வரிசைப்படுத்தல் மூலம் மீதி இரு ஆட்கூறுகளையும் பெறலாம் என்பதால் ஒரு முக்கோண மையத்தின் முதல் ஆட்கூற்றை மட்டும் குறிப்பிடுவது வழக்கமாக உள்ளது.^[5][6]

ஒவ்வொரு முக்கோண மையச் சார்பும் ஒரேயொரு தனித்த முக்கோண மையத்தினைத் தருகிறது. இத் தொடர்பு ஒரு இருவழிக்கோப்பு அல்ல. ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முக்கோண மையச் சார்புகள் ஒரே முக்கோண மையத்தைத் தரலாம். எடுத்துக்காட்டாக,

f₁(a,b,c) = 1/a ,

f₂(a,b,c) = bc

என வரையறுக்கப்படும் இரு சார்புகளும் முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியைத் தருகின்றன. இரு முக்கோண மையச் சார்புகளின் விகிதமானது a, b , c இல் அமைந்த சமச்சீர்ச்சார்பாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", அந்த இரு முக்கோணமையச் சார்புகளும் ஒரே முக்கோண மையத்தைத் தரும்.

அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு முக்கோண மையச் சார்பானது ஒரு முக்கோண மையத்தைத் தராமலும் அமையலாம். எடுத்துக்காட்டாக,

f(a, b, c) = 0 ( a/b , a/c இரண்டும் விகிதமுறு எண்கள் எனில்);

= 1 (மற்றபடி)

என வரையறுக்கப்படும் சார்பு முக்கோண மையச் சார்புக்கான இரு பண்புகளையும் நிறைவு செய்யும். ஆனால் முழுஎண் பக்க அளவுகளுடைய முக்கோணத்திற்கு இச் சார்பு தரும் புள்ளி 0:0:0 ஆகக் கிடைக்கிறது. ஆனால் இப்புள்ளி ஒரு முக்கோண மையமில்லை.

சில சமயங்களில், முக்கோண மையச் சார்புகள் ℝ³ முழுவதும் வரையறுக்கப்படுவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, முக்கோண மையங்களின் கலைக்களஞ்சியத்தில் தரப்பட்டுள்ள முக்கோணம் மையம் X₃₆₅ (X(365) = SQUARE ROOT POINT)-இன் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள் a^1/2 : b^1/2 : c^1/2 ஆகும். எனவே a, b, c எதிர் மதிப்புடையவையாக இருக்க முடியாது. மேலும் அவை ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க அளவுகளாக இருப்பதற்கு முக்கோணச் சமனின்மையையும் நிறைவு செய்ய வேண்டும். எனவே ஒவ்வொரு முக்கோண மையச் சார்பின் ஆட்களமும் ℝ³ இல் a ≤ b + c, b ≤ c + a, c ≤ a + b எனும் மூன்று கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்யும் பகுதியாக அமையும். ℝ³ இன் இப்பகுதியானது ( T), அனைத்து முக்கோணங்களின் ஆட்களமாகும். எனவே இப்பகுதியே முக்கோண மையச் சார்பின் "இயல்பு ஆட்களம்" ஆக உள்ளது.

சில சமயங்களில் முக்கோண மையச் சார்புகளுக்கு T ஐவிடச் சிறிய பகுதியை ஆட்களங்களாகக் கொள்ளவேண்டிய அவசியம் ஏற்படுகிறது:

• முக்கோண மையங்கள் X₃, X₄, X₂₂, X₂₄, X₄₀ ([2]) ஆகிய முக்கோண மையங்கள் குறுங்கோண முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமுள்ளவை என்பதால், இங்கு a² ≤ b² + c², b² ≤ c² + a², c² ≤ a² + b² என்ற கட்டுப்பாடுகளை நிறைவுசெய்யக்கூடிய T இன் பகுதி மட்டுமே ஆட்களமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.
• பெர்மா புள்ளிக்கும் முக்கோண மையம் X₁₃(X(13) = 1st ISOGONIC CENTER (FERMAT POINT, TORRICELLI POINT) க்குமுள்ள வேறுபாட்டைக் அறிந்துகொள்ள ஒரு கோணத்தின் அளவானது 2π/3 (120 பாகைகள்) க்கும் அதிகமானதாக உள்ள முக்கோணங்கள் முக்கியமானவை. அதாவது,

a² > b² + bc + c² அல்லது :b² > c² + ca + a² அல்லது :c² > a² + ab + b²

என்ற கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்யும் ஆட்களம் தேவைப்படுகிறது..

• T இலிருந்து b = c, c = a, a = b என்ற கட்டுப்பாட்டுக்குட்பட்ட பகுதிகளை நீக்கினால் அனைத்து அசமபக்க முக்கோணங்கள் கொண்ட ஆட்களம் கிடைக்கும்.

T இன் அனைத்து உட்கணங்களும் (D ⊆ T ) முக்கோண மையச் சார்பின் ஆட்களங்களாக இருக்கமுடியாது.

• முக்கோண மையச் சார்பின் இருசமச்சீர்மைக்காக D ஆனது b = c, c = a, a = b ஆகிய தளங்களில் சமச்சீர்மை கொண்டிருக்க வேண்டும்.
• முக்கோண மையச் சார்பின் சுழற்சித்தன்மைக்காக, a = b = c என்ற கோட்டைப் பொறுத்த 2π/3 கோண சுழற்சியில் நிலைமாறாத்தன்மை கொண்டதாக D இருக்க வேண்டும். இத்தகைய ஆட்களங்களில், அனைத்து சமபக்க முக்கோணங்களைத் தரும் கோடே (t,t,t) எளிய ஆட்களமாகும்.

முக்கோணம் ABC இன் பக்கங்களின் நடுக்குத்துக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியான சுற்றுவட்டமையத்தின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள்:

a(b² + c² − a²) : b(c² + a² − b²) : c(a² + b² − c²).

விளக்கம்

f(a,b,c) = a(b² + c² − a²) எனில்:

• f(ta,tb,tc) = (ta) ( (tb)² + (tc)² − (ta)² ) = t³ ( a( b² + c² − a²) ) = t³ f(a,b,c) (சமபடித்தானத் தன்மை)
• f(a,c,b) = a(c² + b² − a²) = a(b² + c² − a²) = f(a,b,c) (இருசமச்சீர்மை)

எனவே இந்த f ஒரு முக்கோண மையச் சார்பாக உள்ளது. இச் சார்புக்குரிய முக்கோண மையம் சுற்றுவட்டமையத்தின் அதே முக்கோட்டு ஆட்கூறுகளைக் கொண்டுள்ளதால், முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டமையம் ஒரு முக்கோண மையம் ஆகும்.

ABC முக்கோணத்தின் பக்கம் BC ஐ அடிப்பக்கமாகவும், அப்பக்கத்தின் எதிர்ப்புறத்தில் அமைந்த A' ஐ உச்சியாகவும் கொண்ட சமபக்க முக்கோணம் A'BC. இதேபோல, மற்ற இரு பக்கங்களைக் கொண்டு வரையப்பட்ட சமபக்க முக்கோணங்கள் AB'C , ABC' எனில், கோடுகள் AA', BB' , CC' மூன்றும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும். அப்புள்ளி முதலாவது சமகோண மையம் எனப்படும். அதன் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள்:

csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3).

இந்த ஆட்கூறுகளை முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் a, b , c மூலம் எழுதி, அவை முக்கோண மையத்தின் ஆட்கூறுகளின் பண்புகளை நிறைவு செய்வதை நிறுவலாம். எனவே முதலாவது சமகோண மையமும் ஒரு முக்கோண மையம் ஆகும்.

	${\displaystyle {\begin{cases}\\\\\end{cases}}}$	1	if a2 > b2 + bc + c2	(equivalently A > 2π/3)
f(a,b,c)     =		0	if b2 > c2 + ca + a2 or c2 > a2 + ab + b2	(equivalently B > 2π/3 or C > 2π/3)
		csc(A + π/3)	otherwise	(equivalently no vertex angle exceeds 2π/3).

இந்த f சார்பானது இருசமச்சீர்மையும் சமபடித்தானத் தன்மையும் கொண்டுள்ளதை எளிதாகக் காணலாம். எனவே இச்சார்பு ஒரு முக்கோண மையச் சார்பாகும். மேலும் முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சிக்கோணம் 2π/3 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்போது முக்கோண மையம் அந்த விரிகோண உச்சியாகவும், குறைவாக இருக்கும்போது முதலாவது சமகோண மையமாகவும் இருக்கும். எனவே இந்த முக்கோண மையம் பெர்மா புள்ளி ஆகும்.

5000க்கும் மேற்பட்ட முக்கோண மையங்கள் கொண்ட இணைய கலைக்களஞ்சியத்தை உருவாக்கிய கிளார்க் கிம்பர்லிங்கிற்கு மரியாதை செய்யும்விதமாக அந்த முக்கோண மையங்கள் "கிம்பர்லிங் மையங்கள்" என அழைக்கப்பட்டன.^[7]

ஒரு முக்கோண மையத்தின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகளை a, b , c இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகத் தரமுடியுமெனில் அந்த முக்கோண மையம் பல்லுறுப்புக்கோவை முக்கோண மையமென அழைக்கப்படும்.

ஒரு முக்கோண மையத்தின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகளை Δ, a, b , c இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகத் தரமுடியுமெனில் அந்த முக்கோண மையம் சீரான முக்கோண மையமென அழைக்கப்படும். ( Δ, முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் குறிக்கும்)

f(A) ஆனது முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்களையும் மற்ற இரு கோணங்களும் நீங்கலாக, கோணம் A ஐ மட்டுமே சார்ந்த சார்பு, f(B) ஆனது முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்களையும் மற்ற இரு கோணங்களும் நீங்கலாக, கோணம் B ஐ மட்டுமே சார்ந்த சார்பு, f(C) ஆனது முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்களையும் மற்ற இரு கோணங்களும் நீங்கலாக, கோணம் C ஐ மட்டுமே சார்ந்த சார்பு எனில், ஒரு முக்கோண மையத்தின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள் f(A) : f(B) : f(C) என அமையுமானால், அந்த முக்கோண மையம் "பெரும் முக்கோண மையம்" (Major Triangle Center) எனப்படும்.^[8]

a, b, c இல் அமைந்த இயற்கணித சார்புகளை மட்டும் கொண்டு ஒரு முக்கோண மையத்தின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகளை எழுத இயலாதெனில், அது விஞ்சிய முக்கோண மையம் (transcendental triangle center) எனப்படும்.

1. ↑ List of classical and recent triangle centers: "Triangle centers". Retrieved 2009-05-23.
2. ↑ Summary of Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle [1] பரணிடப்பட்டது 2003-10-31 at the வந்தவழி இயந்திரம் (Accessed on 23 may 2009)
3. ↑ Kimberling, Clark (1994). "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle". Mathematics Magazine 67 (3): 163–187. doi:10.2307/2690608. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1994-06_67_3/page/163. 
4. ↑ Centers X(5001) -
5. ↑ Weisstein, Eric W. "Triangle Center". MathWorld–A Wolfram Web Resource. Retrieved 25 May 2009.
6. ↑ Weisstein, Eric W. "Triangle Center Function". MathWorld–A Wolfram Web Resource. Retrieved 1 July 2009.
7. ↑ Weisstein, Eric W. "Kimberling Center". MathWorld–A Wolfram Web Resource. Retrieved 25 May 2009.
8. ↑ Weisstein, Eric W. "Major Triangle Center". MathWorld–A Wolfram Web Resource. Retrieved 25 May 2009.

• Clark Kimberling Triangle Centers from University of Evansville
• Paul Yiu A Tour of Triangle Geometry from Florida Atlantic University.