மெக்லாரின் தொடர்

டெய்லர் தொடரின் கருத்துரு ஸ்காட்லாந்து கணிதவியலாளர் ஜேம்ஸ் கிரகரியால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, 1715 இல் ஆங்கில கணிதவியலாளர் புரூக் டெய்லரால் முறையாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. டெய்லர் தொடர் பூச்சியத்தில் மையப்படுத்தப்படும்போது அது மெக்லாரின் தொடர் (Maclaurin series) என அழைக்கப்படுகிறது. 18 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்த டெய்லர் தொடரின் சிறப்பு வகையைப் பெரிதும் பயன்படுத்திய ஸ்காட்லாந்து கணிதவியலாளர் காலின் மெக்லாரின் நினைவாக இப்பெயர் இடப்பட்டது.

• ƒ(x) சார்பின் டெய்லர் தொடர் (a புள்ளியில்) :

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}$

• ƒ(x) சார்பின் மெக்லாரின் தொடர் (பூச்சியத்தில்):

${\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}$

ƒ(x) என்பது ஒரு மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புச் சார்பு. a என்ற புள்ளியில் இச் சார்பு முடிவுறா தடவைகள் தொடர்ந்து வகையிடக் கூடியது எனில், இச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் கீழ்க்கண்ட அடுக்குத் தொடராக அமையும்:

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}$

இத் தொடரில் * a = 0 எனப் பதிலிடக் கிடைப்பது மெக்லாரின் தொடர்:

${\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}$

• n! - n இன் தொடர் பெருக்கம்.
• ƒ ⁽ⁿ⁾(0) - 0 இல், சார்பு ƒ இன் n ஆம் வகைக்கெழு.
• ƒ இன் பூச்சிய வரிசை வகைக்கெழு ƒ மற்றும் (x − a)⁰ =1, 0! = 1.

வழக்கமான சார்புகள் சிலவற்றின் மெக்லாரின் தொடர்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன இத் தொடர்கள் அனைத்தும் x இன் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்:^[1]

• படிக்குறிச் சார்பு

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \quad \forall x\!}$

• இயல் மடக்கை:

${\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}},\quad \forall |x|<1}$

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}},\quad \forall |x|<1}$

• பெருக்குத் தொடர்:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad \ |x|<1\!}$

• ஈருறுப்புத் தொடர் (α = 1/2 மற்றும் α = −1 உட்பட):

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad |x|<1,{\text{ அனைத்து சிக்கலெண் }}\alpha \!}$

${\displaystyle (1+x)^{0.5}=\textstyle 1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots }$

${\displaystyle (1+x)^{-0.5}=\textstyle 1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots }$

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}$- பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஈருறுப்புக் கெழுக்களுடன்.

• முக்கோணவியல் சார்புகள்:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \quad \forall x\!}$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \quad \forall x\!}$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots \quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1,x\not =\pm i\!}$

• அதிபரவளையச் சார்புகள்:

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad \forall x\!}$

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \quad \forall x\!}$

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots \quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {arcsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \mathrm {arctanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\quad |x|\leq 1,x\not =\pm 1\!}$

tan(x) மற்றும் tanh(x) இன் தொடர்களிலுள்ள எண்கள் B_k, பெர்னொலி எண்கள் ஆகும். sec(x) தொடரிலுள்ள E_k ஆய்லர் எண்கள்.

• Weisstein, Eric W. "Maclaurin Series." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html