வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்

வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம் (Euler's theorem in geometry), ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்திற்கும் சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தின் மதிப்பினைப் பின்வருமாறு தருகிறது^{[1]:{{{3}}}[2]:{{{3}}}}:

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)\,}$

(அல்லது)

$${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}$$

இதில் R - சுற்றுவட்ட ஆரம், r - உள்வட்ட ஆரம்.

1765 இல் இதனை வெளியிட்ட கணிதவியலாளர் லியோனார்டு ஆய்லரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.^[3]:{{{3}}} 1746 இல் வில்லியம் சாப்பல் என்பவராலும் இத்தேற்றத்தின் முடிவு வெளியிடப்பட்டதாகும்.^[4]:{{{3}}}

இத்தேற்றத்தின் கூற்றிலிருந்து கிடைக்கும் சமனின்மை

${\displaystyle R\geq 2r}$ ஆய்லரின் சமனின்மை என அழைக்கப்படுகிறது.^{[5]:{{{3}}}[6]:{{{3}}}[7]:{{{3}}}}. இதிலுள்ள சமக்குறி சமபக்க முக்கோணத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும்.

இரு மைய நாற்கரத்தின் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை, இத்தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்^[7]:{{{3}}}:

$${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,}$$

${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ஆகிய மூன்றும் முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களைக் குறிக்கின்றன.

• முக்கோணம் ABC -ன் சுற்றுவட்ட மையம் O , உள்வட்ட மையம் I என்க.
• கோட்டுத்துண்டு AI -ன் நீட்டிப்பு சுற்றுவட்டத்தைப் புள்ளி L -ல் சந்தித்தால், வட்டவில் BC -ன் நடுப்புள்ளியாக L இருக்கும்.
• கோட்டுத்துண்டு LO வரைந்து நீட்டிக்க, அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி M என்க.
• I -லிருந்து AB -க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி, புள்ளி D என்க.
• ${\displaystyle ID=r\,}$.

${\displaystyle \triangle ADI\sim \triangle MBL\,}$ (வடிவொத்த முக்கோணங்கள்)

${\displaystyle {\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}}$

${\displaystyle ID\times ML=AI\times BL}$

${\displaystyle 2Rr=AI\times BL\,}$----------------(1)

• ${\displaystyle BI}$ வரைக.

${\displaystyle \triangle BIL}$ -ல்:

${\displaystyle \angle BIL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}}$ --------(முக்கோணம் ABI -ன் ஒரு வெளிக்கோணம் BIL. மேலும் ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, மூன்றாவது வெளிக்கோணத்திற்குச் சமம்.)

${\displaystyle \angle IBL={\frac {\angle ABC}{2}}+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}}$

(கோணங்கள் CBL, A/2 இரண்டும் சுற்றுவட்ட வில் LC -ஆனது மீதியுள்ள வட்டவில்லின் மீது அமையும் B மற்றும் A புள்ளிகளில் தாங்கும் கோணங்களாக அமைவதால் இரண்டும் சமம்.)

${\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}$

எனவே முக்கோணம் BIL ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

${\displaystyle BL=IL\,}$,

இம்மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட:

${\displaystyle 2Rr=AI\times IL}$--------(2)

• ${\displaystyle OI}$ -ஐ நீட்டிக்க அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் P , Q என்க.

${\displaystyle PI\times QI=AI\times IL}$ ----(ஒரு வட்டத்தின் இரு வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள் ஒவ்வொன்றின் வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கற்பலன்கள் சமம்)

${\displaystyle PI\times QI=2Rr\,}$-----( (1)-ன் படி)

${\displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr\,}$ --------(d -சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் உள்வட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.)

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)\,}$. ---------(தேற்ற முடிவு நிறுவப்படுகிறது.)

• Euler's theorem on MathWorld