இரு மைய நாற்கரம்

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் இரு மைய நாற்கரம் (bicentric quadrilateral) என்பது உள்வட்டமும் சுற்றுவட்டமும் ஆகிய இரண்டும் கொண்ட ஒரு குவிவு நாற்கரம் ஆகும். இதனால் இந்நாற்கரம் தொடு நாற்கரமாகவும் வட்ட நாற்கரமாகவும் அமையும். இந்நாற்கரம் நாண்-தொடுகோடு நாற்கரம், (chord-tangent quadrilateral)^[1] உள்வரையப்பட்ட மற்றும் வெளிவரையப்பட்ட நாற்கரம் (inscribed and circumscribed quadrilateral) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

இரு மைய நாற்கரங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்:

• சதுரங்கள்,
• செங்கோணப் பட்டங்கள்,
• இணைப்பக்கங்களின் கூட்டுச்சராசரியாக இணையில்லா பக்க நீளங்களைக் கொண்ட இருசமபக்க சரிவகங்கள்.

• ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் எதிர்ப் பக்கங்கள் பீட்டோ தேற்ற முடிவை நிறைவு செய்தும், எதிர்க் கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்களாகவும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்நாற்கரம் ஓர் இரு மைய நாற்கரமாக அமையும்.

அதாவது பக்க நீளங்கள் -a, b, c, d கொண்ட ஒரு குவிவு நாற்கரம் ABCD எனில்:

${\displaystyle \displaystyle a+c=b+d}$ (மற்றும்)

${\displaystyle \displaystyle A+C=B+D=\pi .}$

ஆகிய இரண்டு முடிவுகளும் உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே நாற்கரம் ABCD ஒரு இரு மைய நாற்கரமாக இருக்க முடியும்.

• நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் AB, BC, CD, DA -க்களை உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகள் முறையே W, X, Y, Z என்க. பின்வரும் மூன்று முடிவுகளும் உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் ABCD ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் அமையும்.^[2]

${\displaystyle WY\bot \,XZ}$ (அதாவது தொடுபுள்ளி நாற்கரம் WXYZ ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்.)

${\displaystyle {\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}}$

${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}}$

• WX, XY , YZ, ZW -ன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே E, F, G, H என்க. நாற்கரம் EFGH ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் ABCD ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும்.^[2]

• ஒரு தொடு நாற்கரத்தின் உள்வட்டமையம் I மற்றும் அந்நாற்கரத்தின் எதிரெதிர்ப் பக்கங்களின் நீட்சிகள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் J ,K என்க. முக்கோணம் JIK ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த தொடு நாற்கரம் ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும்.^[2]

• தொடு நாற்கரம் ABCD -ன் நியூட்டன் கோடு அந்நாற்கரத்தின் தொடுபுள்ளி நாற்கரம் -WXYZ -ன் நியூட்டன் கோட்டுக்குச் செங்குத்தாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும். ^[2]

• a, b, c, d -பக்க நீளங்கள் கொண்ட இரு மைய நாற்கரத்தின் பரப்பளவு K^{[3] [4] [5] [6] [7]}:

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

இவ்வாய்ப்பாடு பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் சிறப்பு வகையாகும். இதனைத் தொடு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் முக்கோணவியல் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து தருவிக்கலாம்.

• ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் தொடு நாண்கள் k, l மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் p, q எனில், அதன் பரப்பு^[4]:

${\displaystyle K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.}$

பரப்பு காணும் பிற வாய்ப்பாடுகள்:

• ${\displaystyle K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl}$^[5]

இங்கு m மற்றும் n இரு மைய நாற்கரத்தின் இரு நடுக்கோடுகள்.

• ${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$^[4]

இதில் e, f, g, h -தொடுகோட்டு நீளங்கள்.

• நாற்கரம் ABCD -ன் பரப்பளவு:

${\displaystyle K=AI\cdot CI+BI\cdot DI}$^[5]

I -உள்வட்ட மையம்.

• ${\displaystyle K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).}$^[5]

உள்வட்ட ஆரம் r மற்றும் A, B நாற்கரத்தின் இரு அடுத்துள்ள கோணங்கள்.

சமனின்மைகள்:

• ${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.}$^[8]

r மற்றும் R முறையே உள்வட்ட, வெளிவட்ட ஆரங்கள்.

நாற்கரம் சதுரமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே இதிலுள்ள சமன் குறி (இருபுறமும்) பொருந்தும்.

• ${\displaystyle K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$^[9]

இரு மைய நாற்கரம் ABCD -ன் பக்கங்கள் AB, BC, CD, DA ஆகியவற்றின் நீளங்கள் முறையே a, b, c, d எனில் நாற்கரத்தின் உச்சிக் கோணங்கள்^[5]:

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.}$

இரு மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் ${\displaystyle \theta }$ காண வாய்ப்பாடு^[6]:

${\displaystyle \displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.}$

ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம் r காணும் வாய்ப்பாடுகள்:

• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}.}$^[3]:

இதில் a, b, c, d -நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள்.

• ${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.}$^{[10]:p. 41}

இதில் e, f, g, h -நாற்கரத்தின் தொடுகோட்டு நீளங்கள்

இவ்விரண்டு வாய்ப்பாடுகளும் உள்வட்ட ஆரம் r -கொண்ட ஒரு தொடு நாற்கரமானது, வட்ட நாற்கரமாகவும் அமைவதற்குத் தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடுகளாகும்.

• கீழே தரப்பட்டுள்ள வெளிவட்ட ஆரம் R காணும் வாய்ப்பாடு இந்திய கணிதவியலாளர் பரமேஷ்வரரின் வாய்ப்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வகையாகும்:^[3]

${\displaystyle \displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.}$

• உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரம் இரண்டிற்கும் இடையேயுள்ள சமனின்மை:

${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r}$

இச்சமனின்மை நாற்கரத்தின் பரப்பின் இரட்டைச் சமனின்மையில் இருந்து பெறப்பட்டுள்ளது.

உள்வட்டம், வெளிவட்டம் இரண்டும் பொதுமைய வட்டங்களாக இருந்தால் மட்டுமே இதிலுள்ள சமக்குறி உண்மையாக அமையும். அப்பொழுது நாற்கரம் ஒரு சதுரமாக இருக்கும்.

• இரு மைய நாற்கரம் ABCD -ன் உள்வட்ட, வெளிவட்ட ஆரங்களுக்கு இடையேயுள்ள மற்றொரு சமனின்மை:

${\displaystyle 4r^{2}\leq IA\cdot IC+IB\cdot ID\leq 2R^{2}}$^[11]

இங்கு I -உள்வட்ட மையம்.

• ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் p மற்றும் q எனில்:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1}$^[7]

ஃபஸ்ஸின் தேற்றம், ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரம் மற்றும் உள்வட்ட, வெளிவட்ட மையங்கள் I , O இரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட தூரம் x ஆகிய மூன்றுக்கும் இடைப்பட்ட தொடர்பைத் தருகிறது^{[1] [7] [12]}:

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

அல்லது

${\displaystyle \displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}}$.

1792 -ல் நிக்கோலஸ் ஃபஸ், இதனைக் கண்டறிந்தார்.

இதிலிருந்து x -ன் மதிப்பு:

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

ஃபஸ் தேற்றத்தின் கூற்றின்படி:

ஒரு நாற்கரம் இரு மைய நாற்கரமாக இருந்தால் அதன் உள்வட்டமும் வெளிவட்டமும் மேலேயுள்ளவாறு தொடர்பு கொண்டிருக்கும்.

இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும்:

ஒன்றுக்குள் மற்றொன்றாக அமையும் இரு வட்டங்களின் ஆரங்கள் R , r , அவற்றின் மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் x -இவை மூன்றும் ஃபஸ்ஸின் தேற்றத்தில் உள்ள சமன்பாட்டை நிறைவு செய்தால் வெளியேயுள்ள வட்டத்துக்குள்ளாகவும், உள்ளேயுள்ள வட்டத்தைத் தொட்டுக்கொண்டும் ஒரு நாற்கரம் அமையும்.^[13]

கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை:

உள்வட்ட மையம், வெளிவட்ட மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் x, உள்வட்ட ஆரம் r , வெளிவட்ட ஆரம் R -மூன்றுக்கும் இடையேயான மற்றொரு தொடர்பு அமெரிக்க கணிதவியலாளர் லென்னார்ட் கார்லிட்ஸால் (1907–1999) தரப்பட்டுள்ளது^[14]:

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$

இங்கு

${\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}$

a, b, c, d -இரு மைய நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள்.

கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை, வடிவவியலில் முக்கோணத்திற்கான ஆய்லர் தேற்றத்தை இரு மைய நாற்கரத்திற்குப் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

• ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் வெளிவட்ட மையம், உள்வட்ட மையம் மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி மூன்றும் ஒரே நேர் கோட்டின் மீது அமையும் புள்ளிகளாகும்.^[15]

• ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் p, q எனில்:

${\displaystyle \displaystyle 8pq\leq (a+b+c+d)^{2}}$

இதில் a, b, c, d நாற்கரத்தின் பக்கங்கள். இது முர்ரே கிளாம்கின்னால் 1967 -ல் நிறுவப்பட்டது.^[8]

• ஒன்றுக்குள் மற்றொன்றாக அமையும் இரு வட்டங்கள், ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் வெளிவட்டம் மற்றும் உள்வட்டங்களாக அமைந்தால், வெளிவட்டத்தின் மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் இவ்விரு வட்டங்களையே வெளி மற்றும் உள் வட்டங்களாகக் கொண்ட இரு மைய நாற்கரத்தின் உச்சியாக இருக்கும்.^[16] பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஜான்-விக்டர் பான்ஸ்லெட் (1788–1867) இதனை நிரூபித்துள்ளார்.

• ${\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$^[9]

இதில் இரு மைய நாற்கரத்தின்

அரைச்சுற்றளவு -s

பரப்பு -K

r, R -உள்வட்ட ஆரம் மற்றும் வெளிவட்ட ஆரம்.