2 இன் வர்க்கமூலம்

2 இன் வர்க்கமூலம்

The square root of 2 is equal to the length of the hypotenuse of an isosceles right triangle with legs of length 1.
உருவகிப்புகள்
பதின்மம்	1.4142135623730950488...
தொடர் பின்னம்	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}$

2 இன் வர்க்கமூலம்

The square root of 2 is equal to the length of the hypotenuse of an isosceles right triangle with legs of length 1.
உருவகிப்புகள்
பதின்மம்	1.4142135623730950488...
தொடர் பின்னம்	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}$

2 இன் வர்க்கமூலம் (square root of 2). ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ இன் தோராய மதிப்பு 1.4142 ஆகும். இது ஒரு நேர்மறை மெய்யெண் எண்ணாகும். இந்த எண்ணாணது தன்னால் பெருக்கப்படும்போது, ​​எண் 2க்கு சமம் ஆகும். அதாவது ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$x ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ = 2. இதை கணிதத்தில் ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ or ${\displaystyle 2^{1/2}}$ என எழுதலாம். எனவே விஞ்சிய எண் அல்ல. தொழில்நுட்பரீதியாக, இதே பண்புடன் எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து வேறுபடுத்த, 2 இன் முதன்மை வர்க்கமூலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வர்க்கமூலத்தை வடிவியல் ரீதியாக அணுகும்போது, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$என்பது ஒரு சதுரத்தின் குறுக்கே உள்ள மூலைவிட்டத்தின் நீளமாகவும் ஒரு அலகு நீளத்தினை பக்கங்களைக் கொண்டதாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டும. பித்தேகோரசு தேற்றம் என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கமனது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்கு சமம். இது பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் படி ஒரு சதுரத்தில் இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன.சதுரத்தின் மூலைவட்டமானது சதுரத்தின் இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும். இது விகிதமுறா எண்ணாகும்.^[1]

பாபிலோனியாவின் களிமண் சிற்பம் YBC 7289 (அண். 1800–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ நான்கு அடிப்படை 60 படத்தில், 1 24 51 10,இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது ^[2] மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ன் மதிப்பை தருகிறது.

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}$

பண்டைய இந்திய கணித நூல்களான சல்பசூத்திரங்களில் ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ன் மற்றொரு தோராயமான மதிப்பு (அண். 800-200 கி.மு.) பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பக்கத்தின் நீளத்துடன் மூன்றில் ஒரு பங்கையும்,மேலும் 3X4 ல் ஒரு பங்கையும் சேர்த்து அதிலிருந்து 3X4X34 ல் ஒரு பங்கை குறைக்க ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ மதிப்பு கிடைக்கிறது.^[3] அதாவது${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.}$

இது பெல் எண்களின் வரிசையின் அடிப்படையாக அதிகரித்து வரும் துல்லியமான தோராயங்களின் வரிசையில் ஏழாவது முறையாகும். ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் மதிப்பானது தொடர்ச்சியான பின்னம் விரிவாக்கத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. சிறிய பகுதி எண்ணைக் கொண்டிருந்தாலும், பாபிலோனிய தோராயத்தைக் காட்டிலும் இது மிக துல்லியமானதாகும்.

ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது அதன் பக்கங்களுடன் அளவுக்கிணங்காத அளவாகும், அல்லது நவீன மொழியில் இரண்டின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண் என்று பித்தாகரசு கண்டுபிடித்தார். இந்த கண்டுபிடிப்பின் சூழ்நிலைகள் பற்றி மிகக் குறைவாகவே அறியப்படுகிறது. ஆனால் மெட்டாபொன்டமை சேர்ந்த ஹிப்பாசஸின் பெயர் அடிக்கடி குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண் என்பதைக் கண்டுபிடித்ததை பித்தாகரசு ஒரு அதிகாரப்பூர்வ ரகசியமாகக் கருதி வந்தார். ஹிப்பாசஸ் என்பார் கணித துறையில் பெரும் புகழ் வாய்ந்தவர் ஆவார், ஹிப்பாசஸ் பித்தாகரசின் ரகசியத்தை வெளிப்படுத்தியதற்காக கொலை செய்யப்பட்டார். இரண்டின் வர்க்கமூலமானது எப்போதாவது பித்தகோரஸின் எண் அல்லது பித்தகோரஸின் மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக (Conway & Guy 1996).^[4].

பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலையில், விட்ருவியஸ் பொறியாளர் 2 ன் வர்க்கமூலத்தை பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறார் மேலும் Ad Quadratum என்ற இடைக்கால கட்டிடக்கலை நுட்பத்தில் வர்க்க மூலத்தைப் பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறது. இது அடிப்படையில் ஒரலகு சதுரத்தின் பக்க அளவின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும் என்ற வடிவியல் முறையைக் கொண்டுள்ளது. விட்ருவியஸ் ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் பண்புகளை பிளாட்டோவுக்குக் ஒரு யோசனையாக கூறுகிறார். ஒரு சதுரத்தின் மூலைகளுக்கு 45 டிகிரியில் ஒரு தொடுகோட்டை உருவாக்குவதன் மூலம் நடைபாதைகளை உருவாக்க இந்த அமைப்பு பயன்படுத்தப்பட்டது. ஒரு சதுரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மூலைவிட்டத்திற்குச் சமமான நீளத்தைக் கொடுப்பதன் மூலம் வீட்டு முற்றத்தை வடிவமைக்க இந்த விகிதம் பயன்படுத்தப்பட்டது, அதன் பக்கங்கள் மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட வீட்டு முற்றதின் அகலத்திற்கு சமமாக இருக்கும்..^[5]

மேலும் தகவல்களுக்கு: வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ன் தோராயமான மதிப்புகளை அறிந்திட படிமுறைத் தீர்வுகள் பல உள்ளன முழு எண்களின் விகிதங்கள் அல்லது தசம எண் ஆகும். இதற்கான மிகவும் பொதுவான படிமுறைத் தீர்வுவானது கணினிகள் மற்றும் கணிப்பான்களில் அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான பாபிலோனிய முறை ஆகும், இது விதிக்கட்டின்றி சார்புகளின் வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான நியூட்டனின் முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக

முதலில், ஒரு யூகத்தைத் தேர்ந்தெடுங்கள்,${\displaystyle a_{0}>0}$; ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தின் தோராயத்தை அடைய எத்தனை மறு செய்கைகள் தேவை என்பதை மட்டுமே யூகத்தின் மதிப்பு பாதிக்கிறது. பின்னர், அந்த யூகத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் சுழல்நிலை கணக்கீட்டின் மூலம் மீண்டும் செய்யவும்:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\dfrac {2}{a_{n}}}\right)={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}$

ஒவ்வொரு மறு செய்கையும் தோராயத்தை மேம்படுத்துகிறது, சரியான இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை தோராயமாக இரட்டிப்பாக்குகிறது. ${\displaystyle a_{0}=1}$ என தொடங்கி, அடுத்தடுத்த மறு செய்கைகள் பலனளிக்கின்றன:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a_{1}&={\tfrac {3}{2}}&&=\mathbf {1} .5,\\[3mu]a_{2}&={\tfrac {17}{12}}&&=\mathbf {1.41} 6\ldots ,\\[3mu]a_{3}&={\tfrac {577}{408}}&&=\mathbf {1.41421} 5\ldots ,\\[3mu]a_{4}&={\tfrac {665857}{470832}}&&=\mathbf {1.41421356237} 46\ldots ,\\[3mu]&\qquad \vdots \end{alignedat}}}$

ஒரு எளிய விகிதமுறு தோராயமான மதிப்பு 99/70 (≈ 1.4142857) என்பது சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 70 என்ற பகுதியினை மட்டுமே கொண்டிருந்தாலும், அது சரியான மதிப்பிலிருந்து குறைவாக வேறுபடுகிறது 1/10,000 (தோராய. −0.72×10⁻⁴) அடுத்த இரண்டு சிறந்த விகிதமுறு தோராயங்கள் 140/99 (≈ 1.4141414...) சிறிய பிழையுடன் (தோராயமாக -0.72×10−4), மற்றும் 239/169 (≈ 1.4142012) தோராயமாக சிறிய பிழையுடன் −0.12×10−4 . பாபிலோனிய முறையின் நான்கு மறு செய்கைகளிலிருந்து பெறப்பட்ட இரண்டின் வர்க்க மூலத்தின் விகிதமுறு தோராயமானது a₀ = 1 (665,857/470,832) சுமார் 1.6×10⁻¹²; இது மிக பெரியது; அதன் வர்க்க மதிப்பு ≈ 2.0000000000045.

1997 ஆம் ஆண்டில் , ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் மதிப்பு 137,438,953,444 தசம இடங்களுக்கு யசுமாசா கனடாவின் குழுவால் கணக்கிடப்பட்டது. 2006 ஆம் ஆண்டில் பிப்ரவரி மாத்த்தில் , ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் கணக்கீட்டிற்கான பதிவு ஒரு வீட்டுக் கணிப்பொறியைப் பயன்படுத்தி கிரகணம் தொடும் தசம இடங்களுக்கு கணக்கிடப்பட்டது. ஷிகெரு கோண்டோ 2010 ஆம் ஆண்டில் ஒரு டிரில்லியன் தசம இடங்களைக் கணக்கிட்டார்.^[6] கணக்கீட்டு ரீதியாக சவாலான தசம விரிவாக்கங்களைக் கொண்ட கணித மாறிலிகளில், π, e மற்றும் தங்க விகிதம் மட்டுமே 2022 ஆம் ஆண்டில் மார்ச்சு மாதம் மிகவும் துல்லியமாக கணக்கிடப்பட்டது. இத்தகைய கணக்கீடுகள், அத்தகைய எண்கள் இயல்பானவையா என்பதை அனுபவபூர்வமாகச் சரிபார்க்கும் நோக்கம் கொண்டது.

கீழ்கண்ட அட்டவணையானது ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் மதிப்புளைக் கணக்கிடுவதில் சமீபத்திய பதிவுகளை கொண்டது.^[7]

விகிதமுறாமைக்கான ஒரு சிறிய நிரூபணமானது ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ஐ விகிதமுறா மூல தேற்றத்திலிருந்து பெறலாம், அதாவது ${\displaystyle p(x)}$ என்பது முழு எண் கெழுக்ளைக் கொண்ட ஒரு ஓருறுப்புக்கோவை ஆகும், பின்னர் எந்த விகிதமுறா மூலமும் ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ என்பது ஒரு முழு எண். பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இதைப் பயன்படுத்துதல் ${\displaystyle p(x)=x^{2}-2}$, அது பின்வருமாறு ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ஒரு முழு எண் அல்லது விகிதமுறா எண் ஆகும். ஏனெனில்${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ஒரு முழு எண் அல்ல (2 என்பது முழு வர்க்கம் அல்ல).${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ விகிதமுறா எண்ணாக இருக்க வேண்டும். ஒரு முழு வர்க்கம் இல்லாத எந்த இயல் எண்ணின் எந்த வர்க்க மூலமும் விகிதமுறா எண்ணா என்பதைக் காட்ட இந்த பொதுமையான நிரூபணமாகும்.

எந்த ஒரு முழு எண் அல்லாத இயல் எண்ணின் வர்க்க மூலமும் விகிதமுறா எண் என்பதற்கான மற்ற நிரூபணங்ளுக்கு, இருபடி விகிதமுறா எண்னைக் காண்க.

முடிவிலி இறக்க நிறுவல் மூலம் விகிதமுறாவின்மை எண்களின் ஒரு நிரூபணமாகும். ஒரு நிராகரிப்புக்கான சான்றாகவும் உள்ளது: இது"${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ விகிதமுறு எண் அல்ல" என்ற கூற்றை விகிதமுறு என்று கருதி பின்னர் ஒரு தவறு என பெறுவதன் மூலம் நிரூபிக்கிறது.

1.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்று எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது ஒரு ஜோடி முழு எண்கள் உள்ளன, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் விகிதம் சரியாக இருக்கும்.

2. இரண்டு முழு எண்களுக்கும் பொதுவான காரணி இருந்தால், அதை யூக்ளிடியன் படிமுறைத் தீர்வு பயன்படுத்தி நீக்கலாம்.

3. பிறகு ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ குறைக்க முடியாத ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ பின்னமாக எழுதலாம் a மற்றும் b ஆகியவை பகு எண் (பொதுவான காரணி இல்லாதது) அதாவது a அல்லது b இல் குறைந்தபட்சம் ஏதாவது ஒன்று ஒற்றைப்படையாக இருக்க வேண்டும்.

4. அதைத் தொடர்ந்து ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$ மற்றும் ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ ( a² மற்றும் b² முழுக்களாகும்)

5. a² என்பது இரட்டை அதனால் 2b² க்கு சம்ம் ஆகும் .ஏனென்றால்   2b² (2b²  மற்றொரு முழு எண்ணாக இருந்தாலும் கூட அவசியம் 2 ன் மடங்கு ஆகும் .)

6. அதைத் தொடர்ந்து a இரட்டையாக இருக்க வேண்டும் (ஒற்றைமுழுக்களின் வர்க்கங்கள் எப்போதும் இரட்டையாக இருக்கும்.)

7. a என்பது இரட்டையாக இருப்பதால், ஆதையால் முழு எண் k என்பது ${\displaystyle a=2k}$ பூர்த்தி செய்யும் உள்ளது.

8. படி 7 இலிருந்து 2k க்கு பதிலாக a என இரண்டாவது சமன்பாட்டில் படி 4 ல்: ${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$ உள்ளது. அது ${\displaystyle b^{2}=2k^{2}}$ க்கு சம்மாகும்.

9. 2k² இரண்டால் வகுபடுவதால் இரட்டை ஆகும். ஆனால் ${\displaystyle 2k^{2}=b^{2}}$ இதன் படி b² ம் இரட்டை,அதாவது b என்பது இரட்டை ஆகும்.

10. படிகள் 5 மற்றும் 8 மூலம், a மற்றும் b இரண்டும் சமமாக இருக்கும், இது படி 3 க்கு முரணானது (அதாவது ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ விகிதமுறா எண்ணாகும்)

நாம் ஒரு முரண்பாடைப் பெற்றிருப்பதால், அனுமானம் (1) அது ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்பது தவறாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு அர்த்தம் அதுதான் ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல; அதாவது,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ விகிதமுறா எண்ணாகும் .

இந்த நிரூபணம் அரிசுட்டாட்டில், அவரது முந்தைய பகுப்பாராய்ச்சி முறை வடிவியல் §I.23 இல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது..^[8] இது யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ், புத்தக X இன் 117வது முன்மொழிவாக, முழு நிரூபணமும் முதலில் தோன்றியது. இருப்பினும், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் இருந்து, வரலாற்றாசிரியர்கள் இந்த நிரூபணம் யூக்ளிட்டுக்கு ஒரு இடைச்செருகல் மற்றும் காரணம் கற்பித்தல் என்று ஒப்புக்கொண்டனர்.^[9]

முடிவிலி இறக்க நிறுவதைப் போலவே, நாங்கள் பெறுகிறோம் ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$. இருபுறமும் சமமாக இருப்பதால், ஒவ்வொரு பக்கமும் எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின் மூலம் ஒரே பகாகாரணிப்படுத்துதல் கொண்டுள்ளது. மேலும் குறிப்பாக, காரணிகள் ஒரே எண்ணிக்கையில் ஏற்பட வேண்டும். இருப்பினும், வலதுபுறத்தில் காரணிகள் 2×b×b என ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் தோன்றும், ஆனால் இடதுபுறத்தில் காரணிகள் a×a என இரட்டை எண்ணிக்கையில் தோன்றும் - இதுவே ஒரு முரண்பாடு ஆகும்.

• List of mathematical constants
• Square root of 3, √3
• Square root of 5, √5
• Gelfond–Schneider constant, 2^√2
• Silver ratio, 1 + √2

• Apostol, Tom M. (2000), "Irrationality of the square root of two – A geometric proof", American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
• Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
• Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
• Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
• Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context", Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209.
• Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), "The generalized serial test and the binary expansion of ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$", Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
• Henderson, David W. (2000), "Square roots in the Śulba Sūtras", in Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, pp. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

• Gourdon, X.; Sebah, P. (2001), "Pythagoras' Constant: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$", Numbers, Constants and Computation.
• The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert J. Nemiroff. May, 1994.
• Square root of 2 is irrational, a collection of proofs
• Grime, James; Bowley, Roger. "The Square Root ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ of Two". Numberphile. Brady Haran.
• √2 Search Engine 2 billion searchable digits of √2, π and e

வார்ப்புரு:Algebraic numbers வார்ப்புரு:Irrational number

(square root of 2). ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ இன் தோராய மதிப்பு 1.4142 ஆகும். இது ஒரு நேர்மறை மெய்யெண் எண்ணாகும். இந்த எண்ணாணது தன்னால் பெருக்கப்படும்போது, ​​எண் 2க்கு சமம் ஆகும். அதாவது ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$x ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ = 2. இதை கணிதத்தில் ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ or ${\displaystyle 2^{1/2}}$ என எழுதலாம். எனவே விஞ்சிய எண் அல்ல. தொழில்நுட்பரீதியாக, இதே பண்புடன் எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து வேறுபடுத்த, 2 இன் முதன்மை வர்க்கமூலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வர்க்கமூலத்தை வடிவியல் ரீதியாக அணுகும்போது, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$என்பது ஒரு சதுரத்தின் குறுக்கே உள்ள மூலைவிட்டத்தின் நீளமாகவும் ஒரு அலகு நீளத்தினை பக்கங்களைக் கொண்டதாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டும. பித்தேகோரசு தேற்றம் என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கமனது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்கு சமம். இது பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் படி ஒரு சதுரத்தில் இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன.சதுரத்தின் மூலைவட்டமானது சதுரத்தின் இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும். இது விகிதமுறா எண்ணாகும்.^[1]

பாபிலோனியாவின் களிமண் சிற்பம் YBC 7289 (அண். 1800–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ நான்கு அடிப்படை 60 படத்தில், 1 24 51 10,இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது ^[2] மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ன் மதிப்பை தருகிறது.

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}$

பண்டைய இந்திய கணித நூல்களான சல்பசூத்திரங்களில் ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ன் மற்றொரு தோராயமான மதிப்பு (அண். 800-200 கி.மு.) பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பக்கத்தின் நீளத்துடன் மூன்றில் ஒரு பங்கையும்,மேலும் 3X4 ல் ஒரு பங்கையும் சேர்த்து அதிலிருந்து 3X4X34 ல் ஒரு பங்கை குறைக்க ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ மதிப்பு கிடைக்கிறது.^[3] அதாவது${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.}$

இது பெல் எண்களின் வரிசையின் அடிப்படையாக அதிகரித்து வரும் துல்லியமான தோராயங்களின் வரிசையில் ஏழாவது முறையாகும். ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் மதிப்பானது தொடர்ச்சியான பின்னம் விரிவாக்கத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. சிறிய பகுதி எண்ணைக் கொண்டிருந்தாலும், பாபிலோனிய தோராயத்தைக் காட்டிலும் இது மிக துல்லியமானதாகும்.

ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது அதன் பக்கங்களுடன் அளவுக்கிணங்காத அளவாகும், அல்லது நவீன மொழியில் இரண்டின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண் என்று பித்தாகரசு கண்டுபிடித்தார். இந்த கண்டுபிடிப்பின் சூழ்நிலைகள் பற்றி மிகக் குறைவாகவே அறியப்படுகிறது. ஆனால் மெட்டாபொன்டமை சேர்ந்த ஹிப்பாசஸின் பெயர் அடிக்கடி குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண் என்பதைக் கண்டுபிடித்ததை பித்தாகரசு ஒரு அதிகாரப்பூர்வ ரகசியமாகக் கருதி வந்தார். ஹிப்பாசஸ் என்பார் கணித துறையில் பெரும் புகழ் வாய்ந்தவர் ஆவார், ஹிப்பாசஸ் பித்தாகரசின் ரகசியத்தை வெளிப்படுத்தியதற்காக கொலை செய்யப்பட்டார். இரண்டின் வர்க்கமூலமானது எப்போதாவது பித்தகோரஸின் எண் அல்லது பித்தகோரஸின் மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக (Conway & Guy 1996).^[4].

பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலையில், விட்ருவியஸ் பொறியாளர் 2 ன் வர்க்கமூலத்தை பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறார் மேலும் Ad Quadratum என்ற இடைக்கால கட்டிடக்கலை நுட்பத்தில் வர்க்க மூலத்தைப் பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறது. இது அடிப்படையில் ஒரலகு சதுரத்தின் பக்க அளவின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும் என்ற வடிவியல் முறையைக் கொண்டுள்ளது. விட்ருவியஸ் ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் பண்புகளை பிளாட்டோவுக்குக் ஒரு யோசனையாக கூறுகிறார். ஒரு சதுரத்தின் மூலைகளுக்கு 45 டிகிரியில் ஒரு தொடுகோட்டை உருவாக்குவதன் மூலம் நடைபாதைகளை உருவாக்க இந்த அமைப்பு பயன்படுத்தப்பட்டது. ஒரு சதுரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மூலைவிட்டத்திற்குச் சமமான நீளத்தைக் கொடுப்பதன் மூலம் வீட்டு முற்றத்தை வடிவமைக்க இந்த விகிதம் பயன்படுத்தப்பட்டது, அதன் பக்கங்கள் மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட வீட்டு முற்றதின் அகலத்திற்கு சமமாக இருக்கும்..^[5]

மேலும் தகவல்களுக்கு: வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ன் தோராயமான மதிப்புகளை அறிந்திட படிமுறைத் தீர்வுகள் பல உள்ளன முழு எண்களின் விகிதங்கள் அல்லது தசம எண் ஆகும். இதற்கான மிகவும் பொதுவான படிமுறைத் தீர்வுவானது கணினிகள் மற்றும் கணிப்பான்களில் அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான பாபிலோனிய முறை ஆகும், இது விதிக்கட்டின்றி சார்புகளின் வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான நியூட்டனின் முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக

முதலில், ஒரு யூகத்தைத் தேர்ந்தெடுங்கள்,${\displaystyle a_{0}>0}$; ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தின் தோராயத்தை அடைய எத்தனை மறு செய்கைகள் தேவை என்பதை மட்டுமே யூகத்தின் மதிப்பு பாதிக்கிறது. பின்னர், அந்த யூகத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் சுழல்நிலை கணக்கீட்டின் மூலம் மீண்டும் செய்யவும்:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\dfrac {2}{a_{n}}}\right)={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}$

ஒவ்வொரு மறு செய்கையும் தோராயத்தை மேம்படுத்துகிறது, சரியான இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை தோராயமாக இரட்டிப்பாக்குகிறது. ${\displaystyle a_{0}=1}$ என தொடங்கி, அடுத்தடுத்த மறு செய்கைகள் பலனளிக்கின்றன:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a_{1}&={\tfrac {3}{2}}&&=\mathbf {1} .5,\\[3mu]a_{2}&={\tfrac {17}{12}}&&=\mathbf {1.41} 6\ldots ,\\[3mu]a_{3}&={\tfrac {577}{408}}&&=\mathbf {1.41421} 5\ldots ,\\[3mu]a_{4}&={\tfrac {665857}{470832}}&&=\mathbf {1.41421356237} 46\ldots ,\\[3mu]&\qquad \vdots \end{alignedat}}}$

ஒரு எளிய விகிதமுறு தோராயமான மதிப்பு 99/70 (≈ 1.4142857) என்பது சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 70 என்ற பகுதியினை மட்டுமே கொண்டிருந்தாலும், அது சரியான மதிப்பிலிருந்து குறைவாக வேறுபடுகிறது 1/10,000 (தோராய. −0.72×10⁻⁴) அடுத்த இரண்டு சிறந்த விகிதமுறு தோராயங்கள் 140/99 (≈ 1.4141414...) சிறிய பிழையுடன் (தோராயமாக -0.72×10−4), மற்றும் 239/169 (≈ 1.4142012) தோராயமாக சிறிய பிழையுடன் −0.12×10−4 . பாபிலோனிய முறையின் நான்கு மறு செய்கைகளிலிருந்து பெறப்பட்ட இரண்டின் வர்க்க மூலத்தின் விகிதமுறு தோராயமானது a₀ = 1 (665,857/470,832) சுமார் 1.6×10⁻¹²; இது மிக பெரியது; அதன் வர்க்க மதிப்பு ≈ 2.0000000000045.

1997 ஆம் ஆண்டில் , ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் மதிப்பு 137,438,953,444 தசம இடங்களுக்கு யசுமாசா கனடாவின் குழுவால் கணக்கிடப்பட்டது. 2006 ஆம் ஆண்டில் பிப்ரவரி மாத்த்தில் , ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் கணக்கீட்டிற்கான பதிவு ஒரு வீட்டுக் கணிப்பொறியைப் பயன்படுத்தி கிரகணம் தொடும் தசம இடங்களுக்கு கணக்கிடப்பட்டது. ஷிகெரு கோண்டோ 2010 ஆம் ஆண்டில் ஒரு டிரில்லியன் தசம இடங்களைக் கணக்கிட்டார்.^[6] கணக்கீட்டு ரீதியாக சவாலான தசம விரிவாக்கங்களைக் கொண்ட கணித மாறிலிகளில், π, e மற்றும் தங்க விகிதம் மட்டுமே 2022 ஆம் ஆண்டில் மார்ச்சு மாதம் மிகவும் துல்லியமாக கணக்கிடப்பட்டது. இத்தகைய கணக்கீடுகள், அத்தகைய எண்கள் இயல்பானவையா என்பதை அனுபவபூர்வமாகச் சரிபார்க்கும் நோக்கம் கொண்டது.

கீழ்கண்ட அட்டவணையானது ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் மதிப்புளைக் கணக்கிடுவதில் சமீபத்திய பதிவுகளை கொண்டது.^[7]

விகிதமுறாமைக்கான ஒரு சிறிய நிரூபணமானது ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ஐ விகிதமுறா மூல தேற்றத்திலிருந்து பெறலாம், அதாவது ${\displaystyle p(x)}$ என்பது முழு எண் கெழுக்ளைக் கொண்ட ஒரு ஓருறுப்புக்கோவை ஆகும், பின்னர் எந்த விகிதமுறா மூலமும் ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ என்பது ஒரு முழு எண். பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இதைப் பயன்படுத்துதல் ${\displaystyle p(x)=x^{2}-2}$, அது பின்வருமாறு ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ஒரு முழு எண் அல்லது விகிதமுறா எண் ஆகும். ஏனெனில்${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ஒரு முழு எண் அல்ல (2 என்பது முழு வர்க்கம் அல்ல).${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ விகிதமுறா எண்ணாக இருக்க வேண்டும். ஒரு முழு வர்க்கம் இல்லாத எந்த இயல் எண்ணின் எந்த வர்க்க மூலமும் விகிதமுறா எண்ணா என்பதைக் காட்ட இந்த பொதுமையான நிரூபணமாகும்.

எந்த ஒரு முழு எண் அல்லாத இயல் எண்ணின் வர்க்க மூலமும் விகிதமுறா எண் என்பதற்கான மற்ற நிரூபணங்ளுக்கு, இருபடி விகிதமுறா எண்னைக் காண்க.

முடிவிலி இறக்க நிறுவல் மூலம் விகிதமுறாவின்மை எண்களின் ஒரு நிரூபணமாகும். ஒரு நிராகரிப்புக்கான சான்றாகவும் உள்ளது: இது"${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ விகிதமுறு எண் அல்ல" என்ற கூற்றை விகிதமுறு என்று கருதி பின்னர் ஒரு தவறு என பெறுவதன் மூலம் நிரூபிக்கிறது.

1.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்று எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது ஒரு ஜோடி முழு எண்கள் உள்ளன, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ன் விகிதம் சரியாக இருக்கும்.

2. இரண்டு முழு எண்களுக்கும் பொதுவான காரணி இருந்தால், அதை யூக்ளிடியன் படிமுறைத் தீர்வு பயன்படுத்தி நீக்கலாம்.

3. பிறகு ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ குறைக்க முடியாத ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ பின்னமாக எழுதலாம் a மற்றும் b ஆகியவை பகு எண் (பொதுவான காரணி இல்லாதது) அதாவது a அல்லது b இல் குறைந்தபட்சம் ஏதாவது ஒன்று ஒற்றைப்படையாக இருக்க வேண்டும்.

4. அதைத் தொடர்ந்து ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$ மற்றும் ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ ( a² மற்றும் b² முழுக்களாகும்)

5. a² என்பது இரட்டை அதனால் 2b² க்கு சம்ம் ஆகும் .ஏனென்றால்   2b² (2b²  மற்றொரு முழு எண்ணாக இருந்தாலும் கூட அவசியம் 2 ன் மடங்கு ஆகும் .)

6. அதைத் தொடர்ந்து a இரட்டையாக இருக்க வேண்டும் (ஒற்றைமுழுக்களின் வர்க்கங்கள் எப்போதும் இரட்டையாக இருக்கும்.)

7. a என்பது இரட்டையாக இருப்பதால், ஆதையால் முழு எண் k என்பது ${\displaystyle a=2k}$ பூர்த்தி செய்யும் உள்ளது.

8. படி 7 இலிருந்து 2k க்கு பதிலாக a என இரண்டாவது சமன்பாட்டில் படி 4 ல்: ${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$ உள்ளது. அது ${\displaystyle b^{2}=2k^{2}}$ க்கு சம்மாகும்.

9. 2k² இரண்டால் வகுபடுவதால் இரட்டை ஆகும். ஆனால் ${\displaystyle 2k^{2}=b^{2}}$ இதன் படி b² ம் இரட்டை,அதாவது b என்பது இரட்டை ஆகும்.

10. படிகள் 5 மற்றும் 8 மூலம், a மற்றும் b இரண்டும் சமமாக இருக்கும், இது படி 3 க்கு முரணானது (அதாவது ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ விகிதமுறா எண்ணாகும்)

நாம் ஒரு முரண்பாடைப் பெற்றிருப்பதால், அனுமானம் (1) அது ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்பது தவறாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு அர்த்தம் அதுதான் ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல; அதாவது,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ விகிதமுறா எண்ணாகும் .

இந்த நிரூபணம் அரிசுட்டாட்டில், அவரது முந்தைய பகுப்பாராய்ச்சி முறை வடிவியல் §I.23 இல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது..^[8] இது யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ், புத்தக X இன் 117வது முன்மொழிவாக, முழு நிரூபணமும் முதலில் தோன்றியது. இருப்பினும், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் இருந்து, வரலாற்றாசிரியர்கள் இந்த நிரூபணம் யூக்ளிட்டுக்கு ஒரு இடைச்செருகல் மற்றும் காரணம் கற்பித்தல் என்று ஒப்புக்கொண்டனர்.^[9]

முடிவிலி இறக்க நிறுவதைப் போலவே, நாங்கள் பெறுகிறோம் ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$. இருபுறமும் சமமாக இருப்பதால், ஒவ்வொரு பக்கமும் எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின் மூலம் ஒரே பகாகாரணிப்படுத்துதல் கொண்டுள்ளது. மேலும் குறிப்பாக, காரணிகள் ஒரே எண்ணிக்கையில் ஏற்பட வேண்டும். இருப்பினும், வலதுபுறத்தில் காரணிகள் 2×b×b என ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் தோன்றும், ஆனால் இடதுபுறத்தில் காரணிகள் a×a என இரட்டை எண்ணிக்கையில் தோன்றும் - இதுவே ஒரு முரண்பாடு ஆகும்.

• List of mathematical constants
• Square root of 3, √3
• Square root of 5, √5
• Gelfond–Schneider constant, 2^√2
• Silver ratio, 1 + √2

• Apostol, Tom M. (2000), "Irrationality of the square root of two – A geometric proof", American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
• Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
• Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
• Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
• Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context", Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209.
• Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), "The generalized serial test and the binary expansion of ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$", Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
• Henderson, David W. (2000), "Square roots in the Śulba Sūtras", in Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, pp. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

• Gourdon, X.; Sebah, P. (2001), "Pythagoras' Constant: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$", Numbers, Constants and Computation.
• The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert J. Nemiroff. May, 1994.
• Square root of 2 is irrational, a collection of proofs
• Grime, James; Bowley, Roger. "The Square Root ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ of Two". Numberphile. Brady Haran.
• √2 Search Engine 2 billion searchable digits of √2, π and e

வார்ப்புரு:Algebraic numbers வார்ப்புரு:Irrational number