Алгебраїчна незалежність

Ця стаття потребує уваги й турботи фахівця у своїй галузі. Будь ласка, повідомте про це знайомому вам спеціалісту, або виправте її самі, якщо ви володієте відповідними знаннями. Можливо, сторінка обговорення містить зауваження щодо потрібних змін. (січень 2024)

Алгебраїчна незалежність — поняття теорії розширень полів. Нехай ${\displaystyle L}$ - деяке розширення поля ${\displaystyle K}$. Елементи ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ називаються алгебраїчно незалежними, якщо для довільного не тотожно рівного нулю многочлена ${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ з коефіцієнтами з поля ${\displaystyle K}$

${\displaystyle P(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\neq 0}$.

У іншому випадку елементи ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ називаються алгебраїчно залежними. Нескінченна множина елементів називається алгебраїчно незалежною, якщо незалежною є кожна її скінченна підмножина, і залежною в іншому випадку. Визначення алгебраїчної незалежності можливо поширити на випадок, коли ${\displaystyle L}$ — кільце і ${\displaystyle K}$ — його підкільце.

Підмножина ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }};2\pi +1\}}$ поля дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не є алгебраїчно незалежною над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, оскільки многочлен ${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}$ є нетривіальним з раціональними коефіцієнтами і ${\displaystyle P({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0}$.

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)

• Chen, Johnny Algebraically Independent(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.