Біполярна система координат

Біполярна система координат — ортогональна система координат на площині на основі кіл Аполлонія^[1]. Криві, що відповідають сталим значенням змінних σ і τ перетинаються під прямими кутами. Координати задаються двома фокусами F₁ та F₂, зазвичай у точках (−a, 0) та (a, 0), відповідно, на осі іксів декартової системи координат.

Зазвичай біполярні координати (σ, τ) визначають як:

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

де σ-координата точки P дорівнює куту ${\displaystyle \angle }$ F₁ P F₂, а τ-координата дорівнює натуральному логарифмові відношення відстаней d₁ та d₂ до фокусів

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

( F₁ та F₂ розташовані в точках (−a, 0) і (a, 0), відповідно.) σ набирає значень від -π/2 до π/2, а τ — від ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle \infty }$. Можна записати,

${\displaystyle x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right)}$^[2][3]

Криві сталих σ відповідають неконцентричним колам

${\displaystyle x^{2}+\left(y-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

що перетинаються в двох фокусах. Центри кіл сталих σ лежать на осі ігреків. Позитивні σ дають кола з центрами над віссю x, а негативні — нижче ві неї. Зі зростанням значення |σ| , радіус кола зменшується, а його центр наближається до початку координат (0, 0), досягаючи його при |σ| = π/2, що є максимальним значенням змінної.

Криві сталих ${\displaystyle \tau }$ — кола різного радіусу, що не перетинаються між собою.

${\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}.}$

Вони оточують фокуси, та не є концентричними. Центри кіл сталих τ лежать на осі іксів. Кола з дотатними τ лежать праворуч осі ігриків (x > 0), а кола з від'ємними τ лежать зліва від осі ігриків (x < 0). Крива τ = 0 відповідає осі ігриків (x = 0). Зі збільшенням абсолютньї величини τ радіус кіл зменшується, а їхні центри стягуються до фокусів.

Перейти від декартових до біполярних координат можна за наступними формулами:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}}$

та

${\displaystyle \pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.}$

Існують дві чудові тотожності

${\displaystyle \tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}}$

та

${\displaystyle \tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}}.}$

Коефіцієнти Ламе для біполярних координат (σ, τ) дорівнюють:

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

Тож нескінченно малий елемент площі має форму

${\displaystyle dA={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}\,d\sigma \,d\tau }$

а оператор Лапласа задається як:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)}$

Інші диференціальні оператори, такі як ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ та ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ можна отримати в координатах (σ, τ), підставляючи коефіцієнти Ламе в загальні формули, виписані на сторінці ортогональна система координат.

• H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", Duke Mathematical Journal 4 (1938), no. 1, 39–50
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), coordinates Bipolar coordinates, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186–190, 1967.
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.