Біцентричний многокутник

У геометрії біцентричний многокутник — це описаний многокутник (многокутник, усі сторони якого дотичні до внутрішнього кола), який також є вписаним у зовнішнє коло, яке проходить через кожну його вершину. Усі трикутники та всі правильні многокутники біцентричні. З іншого боку, прямокутник з нерівними сторонами не є біцентричним, оскільки жодне коло не може дотикатися до всіх його чотирьох сторін.

Кожен трикутник біцентричний^[1]. У трикутнику радіуси r і R вписаного та описаного кола відповідно пов'язані рівнянням

${\displaystyle {\frac {1}{R-x}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}}$

де x — відстань між центрами кіл^[2]. Це одна з версій формули трикутника Ейлера.

Не всі чотирикутники є біцентричними (мають як вписане, так і описане коло). Для даних двох кіл (одне в одному) з радіусами R і r, де ${\displaystyle R>r}$, опуклий чотирикутник, вписаний в одне з них і описаний навколо іншого, існує тоді й лише тоді, коли їхні радіуси задовольняють рівність

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

де x — відстань між їхніми центрами^[2][3]. Ця умова (і аналогічні умови для многокутників вищого порядку) відома як теорема Фусса^[4].

Відома складна загальна формула співвідношення між радіусом описаного кола R, радіусом вписаного кола r і відстанню x між центром описаного кола та центром вписаного кола для будь-якого числа сторін n^[5]. Для деяких n:

${\displaystyle n=5:\quad r(R-x)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(R-r-x)}}+(R+x){\sqrt {2R(R-r-x)}},}$

${\displaystyle n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},}$

${\displaystyle n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},}$

де ${\displaystyle p={\tfrac {R+x}{r}}}$ і ${\displaystyle q={\tfrac {R-x}{r}}.}$

Кожен правильний многокутник є біцентричним^[2]. У правильному многокутнику вписане й описане кола концентричні, тобто мають спільний центр, який також є центром правильного многокутника, тому відстань між центром вписаного й описаного кола завжди дорівнює нулю. Радіусом вписаного кола є апофема (найкоротша відстань від центра до сторони правильного многокутника).

Для будь-якого правильного многокутника співвідношення між довжиною ребра a, радіусом r вписаного кола та радіусом R описаного кола таке:

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}.}$

Для деяких правильних многокутників, які можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, маємо такі алгебричні формули для цих співвідношень:

${\displaystyle n\!\,}$	${\displaystyle R\,{\text{і}}\,a\!\,}$	${\displaystyle r\,{\text{і}}\,a\!\,}$	${\displaystyle r\,{\text{і}}\,R\!\,}$
3	${\displaystyle R{\sqrt {3}}=a\!\,}$	${\displaystyle 2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,}$	${\displaystyle 2r=R\!\,}$
4	${\displaystyle R{\sqrt {2}}=a\!\,}$	${\displaystyle r={\frac {a}{2}}\!\,}$	${\displaystyle 2r=R{\sqrt {2}}\!\,}$
5	${\displaystyle R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=a\!\,}$	${\displaystyle r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\!\,}$	${\displaystyle r({\sqrt {5}}-1)=R\!\,}$
6	${\displaystyle R=a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,}$
8	${\displaystyle R{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=a\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\,}$	${\displaystyle r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\!\,}$	${\displaystyle 2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\!\,}$
10	${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)R=2a\!\,}$	${\displaystyle 2r{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}=5a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,}$

Отже, маємо такі десяткові наближення:

${\displaystyle n\!\,}$		${\displaystyle R/a\!\,}$		${\displaystyle r/a\!\,}$		${\displaystyle R/r\!\,}$
${\displaystyle 3\,}$		${\displaystyle 0.577\,}$		${\displaystyle 0.289}$		${\displaystyle 2.000\,}$
${\displaystyle 4}$		${\displaystyle 0.707\,}$		${\displaystyle 0.500}$		${\displaystyle 1.414\,}$
${\displaystyle 5}$		${\displaystyle 0.851\,}$		${\displaystyle 0.688}$		${\displaystyle 1.236\,}$
${\displaystyle 6}$		${\displaystyle 1.000\,}$		${\displaystyle 0.866}$		${\displaystyle 1.155\,}$
${\displaystyle 8}$		${\displaystyle 1.307\,}$		${\displaystyle 1.207}$		${\displaystyle 1.082\,}$
${\displaystyle 10}$		${\displaystyle 1.618\,}$		${\displaystyle 1.539}$		${\displaystyle 1.051\,}$

Якщо два кола є вписаним і описаним колами окремого біцентричного n-кутника, то ці ж два кола є вписаним і описаним колами нескінченної кількості біцентричних n-кутників. Точніше, на кожній дотичній до внутрішнього з двох кіл можна побудувати біцентричний n-кутник, розмістивши вершини на прямій у точках, де вона перетинає зовнішнє коло, продовжуючи від кожної вершини вздовж іншої дотичної та повторюючи це до замкнення ламаної в n-кутник. Той факт, що так буде завжди, випливає з теореми про замикання Понселе, яка в загальнішому випадку застосовується до вписаних і описаних конік^[6].

Крім того, якщо задано описане коло та вписане коло, кожна діагональ змінного многокутника є дотичною до фіксованого кола^[7].

• Weisstein, Eric W. Біцентричний многокутник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.