Ізотоксальна фігура

Многогранник, многокутник або мозаїка є ізотоксальним або реберно-транзитивним, якщо його симетрії діють транзитивно на його ребрах. Неформально це означає, що об'єкт має тільки один вид ребер — якщо дано два ребра, існує паралельне перенесення, поворот і/або дзеркальне відображення, що переводить одне ребро в інше, не змінюючи області, займаної об'єктом.

Термін ізотоксальний походить від грецького τοξον, що означає дуга.

Ізотоксальний многокутник завжди є рівностороннім, але не всі рівносторонні многокутники ізотоксальні. Многокутники, двоїсті ізотоксальним многокутникам є ізогональними многокутниками.

У загальному випадку ізотоксальный 2n-кутник матиме D_n (*nn) діедричну симетрію. Ромб є реберно-транзитивним многокутником із симетрією D₂ (*22).

Всі правильні мнгогокутники (правильний трикутник, квадрат і т. д.) ізотоксальні, маючи подвоєний мінімальний порядок симетрії — правильний n-кутник має D_n (*nn) діедричну симетрію. Правильний 2n-кутник є вершинно-транзитивним многокутником і його вершини можна позначити по черзі двома кольорами, що видаляє осьову симетрію через середину ребер.

Приклади ізотоксальних многокутників

D2 (*22)	D3 (*33)			D4 (*44)		D5 (*55)
Ромб	Рівносторонній трикутник	Увігнутий шестикутник	Самоперетинний шестикутник	Опуклий восьмикутник		Правильний п'ятикутник	Самоперетинна (правильна) пентаграма	Самоперетинна декаграма

Правильні многогранники є ізоедральними (гране-транзитивними), ізогональними (вершинно-транзитивними) і ізотоксальними (реберно-транзитивними). Квазіправильні многогранники є ізогональними й ізотоксальними, але не ізоедральними. Їхні двоїсті многогранники ізоедральні й ізотоксальні, але не ізогональні.

приклади

Квазіправильний многогранник	Квазіправильний двоїстий многогранник	Квазіправильний зірчастий многогранник	Квазіправильний двоїстий зірчастий многогранник	Квазіправильна мозаїка	Квазіправильна двоїста мозаїка
Кубооктаедр є ізогональним і ізотоксальним многогранником	Ромбододекаедр є ізоедральним і ізотоксальним многоранником | Великий ікосододекаедр[en] є ізогональним і ізотоксальним зірчастим многогранником	Великий ромбічний тридцятигранник[en] є ізоедральним і ізотоксальним зірчастим многогранником	Тришестикутна мозаїка є ізогональною й ізотоксальною мозаїкою	Ромбічна мозаїка є ізоедральною й ізотоксальною мозаїкою із симетрією p6m (*632).

Не будь-який многогранник або 2-вимірна мозаїка, що складаються з правильних многокутників, є ізотоксальними. Наприклад, зрізаний ікосаедр (знайомий нам за футбольним м'ячем) має два типи ребер — шестикутник-шестикутник і шестикутник-п'ятикутник і немає можливості симетрією перевести ребро шестикутник-шестикутник у шестикутник-п'ятикутник.

Ізотоксальний многокутник має такі самі діедричні кути для всіх ребер.

Існує дев'ять опуклих реберно-транзитивних многогранників, утворених із правильних многогранників, 8, утворених з многогранників Кеплера — Пуансо, і ще шість є квазіправильними зірчастими многогранниками (3 | p q) і їх двоїстими.

Існує 5 многокутних реберно-транзитивних мозаїк на евклідовій площині і нескінченно багато на гіперболічній площині, включно з побудовами Візоффа з правильних гіперболічних мозаїк {p, q} і неправильних (p q r) груп.

• Вершинно-транзитивне тіло/фігура
• Гране-транзитивне тіло
• Комірко-транзитивне тіло