Варіація функції

Варіацією функції називається числова характеристика функції однієї дійсної змінної, пов'язана з її диференціальними властивостями. Для функції з відрізка на дійсній прямій в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ є узагальненням поняття довжини кривої.

Нехай ${\displaystyle f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}}$. Тоді варіацією (також повною варіацією або повною зміною) функції ${\displaystyle f}$ на відрізку ${\displaystyle [a,\;b]}$ називається наступна величина:

${\displaystyle V_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\|f(x_{k+1})-f(x_{k})\|,}$

тобто точна верхня грань за всіма розбиттями відрізка ${\displaystyle [a,\;b]}$ довжин ламаних у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, кінці яких відповідають значенням ${\displaystyle f}$ у точках розбиття.

• Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються функціями обмеженої варіації, а клас таких функцій позначається ${\displaystyle V[a,\;b]}$ або просто ${\displaystyle V}$.
  • У такому випадку визначена функція ${\displaystyle v(x)=V_{a}^{x}f}$, що називається функцією повної варіації для ${\displaystyle f}$.
• Додатна варіація дійснозначної функції ${\displaystyle f}$ на відрізку ${\displaystyle [a,\;b]}$ називається наступна величина:

  ${\displaystyle P_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\max\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.}$

• Аналогічно означається від'ємна варіація функції:

  ${\displaystyle N_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}-\inf \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\min\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.}$

• Таким чином повна варіація функції може бути представлена ​​у вигляді суми

  ${\displaystyle V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.}$

• Сума і добуток функцій обмеженої варіації теж будуть мати обмежену варіацію. Частка двох функцій з ${\displaystyle V}$ буде мати обмежену варіацію (іншими словами, належати класу ${\displaystyle V}$), якщо модуль знаменника на відрізку ${\displaystyle [a,\;b]}$ буде більше, ніж позитивна стала.
• Якщо ${\displaystyle a<x\leqslant y<b}$, а ${\displaystyle f\in V[a,\;b]}$, то ${\displaystyle V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f}$.
• Якщо функція ${\displaystyle f}$ неперервна в точці ${\displaystyle a}$ справа і належить ${\displaystyle V[a,\;b]}$, то ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a{+}}v(x)=0}$.
• Функція ${\displaystyle f(x)}$, задана на відрізку ${\displaystyle [a,\;b]}$, є функцією обмеженої варіації тоді й тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді суми зростаючої і спадаючої на ${\displaystyle [a,\;b]}$ функції (розклад Жордана).
• Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж зліченну множину точок розриву, причому всі першого роду.
• Функція обмеженої варіації може бути представлена ​​у вигляді суми абсолютно неперервної функції, сингулярної функції та функції стрибків (розклад Лебега).

Всі ці властивості були встановлені Жорданом^[1][2].

Якщо функція ${\displaystyle f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ належить до класу ${\displaystyle C^{1}}$, тобто має неперервну похідну першого порядку на відрізку ${\displaystyle [a,\;b]}$, то ${\displaystyle f}$ — функція обмеженої варіації на цьому відрізку, а варіація обраховується за формулою:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\|f^{\prime }(x)\|\,dx,}$

тобто рівна інтегралу норми похідної.

Функції обмеженої варіації вивчалися К. Жорданом^[1].

Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був введений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусково монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є ${\displaystyle 2\pi }$-періодичних функцій класу ${\displaystyle V[0,\;2\pi ]}$ збігаються в кожній точці дійсної осі. Проте надалі функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різноманітних галузях математики, особливо в теорії інтеграла Стілтьєса.

Довжина кривої означається як природне узагальнення варіації на випадок відображень у метричний простір.

У випадку декількох змінних існує кілька різних означень варіації функції:

• варіація Фреше,
• плоска варіація Тонеллі.

Якщо розглядати дві функції ${\displaystyle \Phi _{1}(x)}$ і ${\displaystyle \Phi _{2}(x)}$ такі, що

${\displaystyle \varlimsup _{x\to 0^{+}}{\frac {\Phi _{1}(x)}{\Phi _{2}(x)}}<\infty ,}$

то для їх ${\displaystyle \Phi }$-варіацій справедливе відношення:

${\displaystyle V_{\Phi _{2}}[a,\;b]\subset V_{\Phi _{1}}[a,\;b].}$

Зокрема,

${\displaystyle V_{x^{p}}\subset V_{x^{q}}\subset V_{\exp(-x^{-\alpha })}\subset V_{\exp(-x^{-\beta })}}$

при ${\displaystyle 1\leqslant p<q<\infty ,\;0<\alpha <\beta <\infty }$.

• Варіаційне числення
• Інтеграл Стілтьєса

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций.
• Бари, Н. К. Тригонометрические ряды.